حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{4}^{5} \frac{5}{{(5 x + 2)}^{2}} d x$

خطوة 1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$5 \int_{4}^{5} \frac{1}{{(5 x + 2)}^{2}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 5 x + 2$ . إذن $d u = 5 d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 5 x + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $5 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 2]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $5$ في $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$5 + 0$

خطوة 2.1.4.2

أضف $5$ و $0$ .

$5$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 5 x + 2$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 4 + 2$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $5$ في $4$ .

$u_{lower} = 20 + 2$

خطوة 2.3.2

أضف $20$ و $2$ .

$u_{lower} = 22$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 5 x + 2$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 5 + 2$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب $5$ في $5$ .

$u_{upper} = 25 + 2$

خطوة 2.5.2

أضف $25$ و $2$ .

$u_{upper} = 27$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 22$

$u_{upper} = 27$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$5 \int_{22}^{27} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{5} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{1}{u^{2}}$ في $\frac{1}{5}$ .

$5 \int_{22}^{27} \frac{1}{u^{2} \cdot 5} d u$

خطوة 3.2

انقُل $5$ إلى يسار $u^{2}$ .

$5 \int_{22}^{27} \frac{1}{5 u^{2}} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$5 (\frac{1}{5} \int_{22}^{27} \frac{1}{u^{2}} d u)$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $5$ .

$\frac{5}{5} \int_{22}^{27} \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 5.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5}{5} \int_{22}^{27} \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 5.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \int_{22}^{27} \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 5.1.3

اضرب $\int_{22}^{27} \frac{1}{u^{2}} d u$ في $1$ .

$\int_{22}^{27} \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 5.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

انقُل $u^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int_{22}^{27} {(u^{2})}^{- 1} d u$

خطوة 5.2.2

اضرب الأُسس في ${(u^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{22}^{27} u^{2 \cdot - 1} d u$

خطوة 5.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int_{22}^{27} u^{- 2} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1}]_{22}^{27}$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $- u^{- 1}$ في $27$ وفي $22$ .

$(- 27^{- 1}) + 22^{- 1}$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{27} + 22^{- 1}$

خطوة 7.2.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{27} + \frac{1}{22}$

خطوة 7.2.3

لكتابة $- \frac{1}{27}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{22}{22}$ .

$- \frac{1}{27} \cdot \frac{22}{22} + \frac{1}{22}$

خطوة 7.2.4

لكتابة $\frac{1}{22}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{1}{27} \cdot \frac{22}{22} + \frac{1}{22} \cdot \frac{27}{27}$

خطوة 7.2.5

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $594$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.5.1

اضرب $\frac{1}{27}$ في $\frac{22}{22}$ .

$- \frac{22}{27 \cdot 22} + \frac{1}{22} \cdot \frac{27}{27}$

خطوة 7.2.5.2

اضرب $27$ في $22$ .

$- \frac{22}{594} + \frac{1}{22} \cdot \frac{27}{27}$

خطوة 7.2.5.3

اضرب $\frac{1}{22}$ في $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{22}{594} + \frac{27}{22 \cdot 27}$

خطوة 7.2.5.4

اضرب $22$ في $27$ .

$- \frac{22}{594} + \frac{27}{594}$

خطوة 7.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 22 + 27}{594}$

خطوة 7.2.7

أضف $- 22$ و $27$ .

$\frac{5}{594}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{5}{594}$

الصيغة العشرية:

$0.0\overline{084175}$

خطوة 9