حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 4 \tan^{3} (x) d x$

خطوة 1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int \tan^{3} (x) d x$

خطوة 2

أخرِج عامل $\tan^{2} (x)$ .

$4 \int \tan^{2} (x) \tan (x) d x$

خطوة 3

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (x)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$4 \int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

خطوة 4

طبّق خاصية التوزيع.

$4 \int - 1 \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$4 (\int - 1 \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x)$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$4 (- \int \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x)$

خطوة 7

تكامل $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sec (x) |)$ .

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x)$

خطوة 8

لنفترض أن $u = \sec (x)$ . إذن $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = \sec (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

خطوة 8.1.2

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int u d u)$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \frac{1}{2} u^{2} + C)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u^{2}$ .

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \frac{u^{2}}{2} + C)$

خطوة 10.2

بسّط.

$4 (- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} u^{2}) + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sec (x)$ .

$4 (- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (x)) + C$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sec^{2} (x)$ .

$4 (- \ln (| \sec (x) |) + \frac{\sec^{2} (x)}{2}) + C$

خطوة 12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (- \ln (| \sec (x) |)) + 4 \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

خطوة 12.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 4 \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

خطوة 12.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 2 (2) \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

خطوة 12.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 2 \cdot 2 \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

خطوة 12.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 2 \sec^{2} (x) + C$