حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}$ في صورة معادلة.

$y = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{y}{2}) + \frac{1}{2}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{y}{2}) + \frac{1}{2} = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{y}{2}) + \frac{1}{2} = x$

خطوة 3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (\frac{y}{2})$ .

$\frac{\sin (\frac{y}{2})}{2} + \frac{1}{2} = x$

خطوة 3.3

اطرح $\frac{1}{2}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{\sin (\frac{y}{2})}{2} = x - \frac{1}{2}$

خطوة 3.4

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{\sin (\frac{y}{2})}{2} = 2 (x - \frac{1}{2})$

خطوة 3.5

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\sin (\frac{y}{2})}{2} = 2 (x - \frac{1}{2})$

خطوة 3.5.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (\frac{y}{2}) = 2 (x - \frac{1}{2})$

خطوة 3.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

بسّط $2 (x - \frac{1}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\sin (\frac{y}{2}) = 2 x + 2 (- \frac{1}{2})$

خطوة 3.5.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$\sin (\frac{y}{2}) = 2 x + 2 (\frac{- 1}{2})$

خطوة 3.5.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (\frac{y}{2}) = 2 x + 2 (\frac{- 1}{2})$

خطوة 3.5.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (\frac{y}{2}) = 2 x - 1$

خطوة 3.6

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل الجيب.

$\frac{y}{2} = \arcsin (2 x - 1)$

خطوة 3.7

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \arcsin (2 x - 1)$

خطوة 3.8

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y}{2} = 2 \arcsin (2 x - 1)$

خطوة 3.8.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 2 \arcsin (2 x - 1)$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (2 x - 1)$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (2 x - 1)$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) = 2 \arcsin (2 (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) - 1)$

خطوة 5.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (\frac{x}{2})$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) = 2 \arcsin (2 (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} + \frac{1}{2}) - 1)$

خطوة 5.2.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) = 2 \arcsin (2 (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

خطوة 5.2.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) = 2 \arcsin (2 (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

خطوة 5.2.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

خطوة 5.2.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

خطوة 5.2.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}) + 1 - 1)$

خطوة 5.2.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $\sin (\frac{x}{2}) + 1 - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}) + 0)$

خطوة 5.2.4.2

أضف $\sin (\frac{x}{2})$ و $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}))$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (2 \arcsin (2 x - 1))$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{2 \arcsin (2 x - 1)}{2}) + \frac{1}{2}$

خطوة 5.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{2 \arcsin (2 x - 1)}{2}) + \frac{1}{2}$

خطوة 5.3.3.1.2

اقسِم $\arcsin (2 x - 1)$ على $1$ .

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\arcsin (2 x - 1)) + \frac{1}{2}$

خطوة 5.3.3.2

تُعد دالتا الجيب وقوس الجيب دالتين متعاكستين.

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x - 1) + \frac{1}{2}$

خطوة 5.3.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

خطوة 5.3.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

خطوة 5.3.3.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

خطوة 5.3.3.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = x + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

خطوة 5.3.3.5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = x + \frac{- 1}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 5.3.3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 5.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

أضف $- \frac{1}{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = x + 0$

خطوة 5.3.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (2 x - 1)$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (2 x - 1)$