حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{8} (1 - x) e^{- x} d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = 1 - x$ و $d v = e^{- x}$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} - e^{- x} \cdot - 1 d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} 1 e^{- x} d x$

خطوة 2.2

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} e^{- x} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 3.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 3.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = - x$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

خطوة 3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$u_{lower} = - 1$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 8$

خطوة 3.5

اضرب $- 1$ في $8$ .

$u_{upper} = - 8$

خطوة 3.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - 8$

خطوة 3.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - \int_{- 1}^{- 8} - e^{u} d u$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - - \int_{- 1}^{- 8} e^{u} d u$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} + 1 \int_{- 1}^{- 8} e^{u} d u$

خطوة 5.2

اضرب $\int_{- 1}^{- 8} e^{u} d u$ في $1$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} + \int_{- 1}^{- 8} e^{u} d u$

خطوة 6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} + e^{u}]_{- 1}^{- 8}$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $(1 - x) (- e^{- x})$ في $8$ وفي $1$ .

$((1 - 1 \cdot 8) (- e^{- 1 \cdot 8})) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + e^{u}]_{- 1}^{- 8}$

خطوة 7.2

احسِب قيمة $e^{u}$ في $- 8$ وفي $- 1$ .

$((1 - 1 \cdot 8) (- e^{- 1 \cdot 8})) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $- 1$ في $8$ .

$(1 - 8) (- e^{- 1 \cdot 8}) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

خطوة 7.3.2

اطرح $8$ من $1$ .

$- 7 (- e^{- 1 \cdot 8}) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

خطوة 7.3.3

اضرب $- 1$ في $8$ .

$- 7 (- e^{- 8}) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

خطوة 7.3.4

اضرب $- 1$ في $- 7$ .

$7 e^{- 8} - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

خطوة 7.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$7 e^{- 8} - (1 - 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

خطوة 7.3.6

اطرح $1$ من $1$ .

$7 e^{- 8} - 0 (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

خطوة 7.3.7

اضرب $- 1$ في $0$ .

$7 e^{- 8} + 0 (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

خطوة 7.3.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$7 e^{- 8} + 0 (- e^{- 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

خطوة 7.3.9

اضرب $- 1$ في $0$ .

$7 e^{- 8} + 0 e^{- 1} + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

خطوة 7.3.10

اضرب $0$ في $e^{- 1}$ .

$7 e^{- 8} + 0 + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

خطوة 7.3.11

أضف $7 e^{- 8}$ و $0$ .

$7 e^{- 8} + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

خطوة 7.3.12

أضف $7 e^{- 8}$ و $e^{- 8}$ .

$8 e^{- 8} - e^{- 1}$

خطوة 8

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{e^{8}} - e^{- 1}$

خطوة 8.2

اجمع $8$ و $\frac{1}{e^{8}}$ .

$\frac{8}{e^{8}} - e^{- 1}$

خطوة 8.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{e^{8}} - \frac{1}{e}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{8}{e^{8}} - \frac{1}{e}$

الصيغة العشرية:

$- 0.36519574 \dots$

خطوة 10