حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{3} \sqrt{1 + 25 x^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = \frac{1}{5} \tan (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\frac{\sec^{2} (t)}{5}$ موجبة.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{1 + 25 {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $\tan (t)$ .

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 {(\frac{\tan (t)}{5})}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

خطوة 2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\tan (t)}{5}$ .

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 \frac{\tan^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

خطوة 2.1.1.3

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 \frac{\tan^{2} (t)}{25}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

خطوة 2.1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 \frac{\tan^{2} (t)}{25}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

خطوة 2.1.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

خطوة 2.1.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

خطوة 2.1.3

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

خطوة 2.1.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

خطوة 2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $\tan (t)$ .

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

خطوة 2.2.1.2

اجمع $\frac{\sec^{2} (t)}{5}$ و $\sec (t)$ .

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{\sec^{2} (t) \sec (t)}{5} d t$

خطوة 2.2.1.3

اضرب $\sec^{2} (t)$ في $\sec (t)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.1

اضرب $\sec^{2} (t)$ في $\sec (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.1.1

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)}{5} d t$

خطوة 2.2.1.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{{\sec (t)}^{2 + 1}}{5} d t$

خطوة 2.2.1.3.2

أضف $2$ و $1$ .

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{\sec^{3} (t)}{5} d t$

خطوة 2.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\tan (t)}{5}$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{5^{3}} \cdot \frac{\sec^{3} (t)}{5} d t$

خطوة 2.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{125} \cdot \frac{\sec^{3} (t)}{5} d t$

خطوة 2.2.3.2

اضرب $\frac{\tan^{3} (t)}{125}$ في $\frac{\sec^{3} (t)}{5}$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t) \sec^{3} (t)}{125 \cdot 5} d t$

خطوة 2.2.3.3

اضرب $125$ في $5$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t) \sec^{3} (t)}{625} d t$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{625}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{625}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{625} \int \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

خطوة 4

أخرِج عامل $\tan^{2} (t)$ .

$\frac{1}{625} \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

خطوة 5

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (t)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{625} \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

خطوة 6

لنفترض أن $u = \sec (t)$ . إذن $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ ، لذا $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = \sec (t)$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

خطوة 6.1.2

مشتق $\sec (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{625} \int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

خطوة 7

اضرب $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\frac{1}{625} \int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة $- 1 u^{2}$ بالصيغة $- u^{2}$ .

$\frac{1}{625} \int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

خطوة 8.2

اضرب $u^{2}$ في $u^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{625} \int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

خطوة 8.2.2

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{1}{625} \int - u^{2} + u^{4} d u$

خطوة 9

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{625} (\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

خطوة 10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{625} (- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{625} (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u)$

خطوة 12

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{4}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{625} (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{3}$ .

$\frac{1}{625} (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

خطوة 13.1.2

اجمع $\frac{1}{5}$ و $u^{5}$ .

$\frac{1}{625} (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

خطوة 13.2

بسّط.

$\frac{1}{625} (- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

خطوة 14

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sec (t)$ .

$\frac{1}{625} (- \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + \frac{1}{5} \sec^{5} (t)) + C$

خطوة 14.2

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arctan (5 x)$ .

$\frac{1}{625} (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (5 x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (5 x))) + C$