حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \tan (x) \cos (x)$

خطوة 1

ضع في اعتبارك تعريف الحد للمشتق.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 2

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = \tan (x + h) \cos (x + h)$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أعِد الكتابة من حيث الجيوب وجيوب التمام، ثم احذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

أعِد كتابة $\tan (x + h) \cos (x + h)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$f (x + h) = \frac{\sin (x + h)}{\cos (x + h)} \cdot \cos (x + h)$

خطوة 2.1.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

$f (x + h) = \sin (x + h)$

خطوة 2.1.2.2

الإجابة النهائية هي $\sin (x + h)$ .

$\sin (x + h)$

خطوة 2.2

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

خطوة 3

عوّض بالمكونات.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) - (\sin (x))}{h}$

خطوة 4

Use a sum or difference formula on the numerator.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم قاعدة الجمع للجيب لتبسيط العبارة. تنص القاعدة على أن $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h)) - (\sin (x))}{h}$

خطوة 4.2

احذِف الأقواس.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h)) - (\sin (x))}{h}$

خطوة 4.3

اضرب $- 1$ في $\sin (x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{h}$

خطوة 5

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 5.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x) \cos (h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 5.1.2.2

انقُل الحد $\sin (x)$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{\sin (x) lim_{h \to 0} \cos (h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 5.1.2.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 5.1.2.4

انقُل الحد $\cos (x)$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) lim_{h \to 0} \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 5.1.2.5

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 5.1.2.6

احسِب قيمة حد $\sin (x)$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 5.1.2.7

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $h$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.7.1

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{\sin (x) \cos (0) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 5.1.2.7.2

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{\sin (x) \cos (0) + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 5.1.2.8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.8.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 5.1.2.8.1.2

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 5.1.2.8.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \cdot 0 - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 5.1.2.8.1.4

اضرب $\cos (x)$ في $0$ .

$\frac{\sin (x) + 0 - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 5.1.2.8.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $\sin (x) + 0 - \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.8.2.1

أضف $\sin (x)$ و $0$ .

$\frac{\sin (x) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 5.1.2.8.2.2

اطرح $\sin (x)$ من $\sin (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 5.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 5.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 5.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 5.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 5.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بما أن $\sin (x)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، إذن مشتق $\sin (x) \cos (h)$ بالنسبة إلى $h$ يساوي $\sin (x) \frac{d}{d h} [\cos (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 5.3.3.2

مشتق $\cos (h)$ بالنسبة إلى $h$ يساوي $- \sin (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 5.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

بما أن $\cos (x)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، إذن مشتق $\cos (x) \sin (h)$ بالنسبة إلى $h$ يساوي $\cos (x) \frac{d}{d h} [\sin (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \frac{d}{d h} [\sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 5.3.4.2

مشتق $\sin (h)$ بالنسبة إلى $h$ يساوي $\cos (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h) + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 5.3.5

بما أن $- \sin (x)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $- \sin (x)$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 5.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.1

أضف $\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h)$ و $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 5.3.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 5.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)}{1}$

خطوة 5.4

اقسِم $- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)$ على $1$ .

$lim_{h \to 0} - \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)$

خطوة 6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$- lim_{h \to 0} \sin (h) \sin (x) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

خطوة 6.2

انقُل الحد $\sin (x)$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$- \sin (x) lim_{h \to 0} \sin (h) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

خطوة 6.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

خطوة 6.4

انقُل الحد $\cos (x)$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) lim_{h \to 0} \cos (h)$

خطوة 6.5

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \cos (lim_{h \to 0} h)$

خطوة 7

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $h$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$- \sin (x) \sin (0) + \cos (x) \cos (lim_{h \to 0} h)$

خطوة 7.2

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$- \sin (x) \sin (0) + \cos (x) \cos (0)$

خطوة 8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$- \sin (x) \cdot 0 + \cos (x) \cos (0)$

خطوة 8.1.2

اضرب $- \sin (x) \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$0 \sin (x) + \cos (x) \cos (0)$

خطوة 8.1.2.2

اضرب $0$ في $\sin (x)$ .

$0 + \cos (x) \cos (0)$

خطوة 8.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$0 + \cos (x) \cdot 1$

خطوة 8.1.4

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$0 + \cos (x)$

خطوة 8.2

أضف $0$ و $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

خطوة 9