حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4$ , $[1, 2]$

خطوة 1

إذا كانت $f$ متصلة في الفترة $[a, b]$ وقابلة للاشتقاق في $(a, b)$ ، إذن يوجد على الأقل عدد حقيقي واحد $c$ في الفترة $(a, b)$ حيث إن $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . وتعبر نظرية القيمة المتوسطة عن العلاقة بين ميل المماس للمنحنى عند $x = c$ وميل الخط المار بالنقطتين $(a, f (a))$ و $(b, f (b))$ .

إذا كانت $f (x)$ متصلة في $[a, b]$

وإذا كانت $f (x)$ قابلة للاشتقاق على $(a, b)$ ،

إذن، توجد نقطة واحدة على الأقل، $c$ في $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

خطوة 2

تحقق مما إذا كانت $f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4$ متصلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 2.2

$f (x)$ متصلة على $[1, 2]$ .

الدالة متصلة.

خطوة 3

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} - 3 x^{3} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.1.2.3

اضرب $3$ في $- 3$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 0$

خطوة 3.1.3.2

أضف $4 x^{3} - 9 x^{2}$ و $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2}$

خطوة 3.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $4 x^{3} - 9 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2}$

خطوة 4

أوجِد ما إذا كان المشتق متصلاً على $(1, 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 4.2

$f' (x)$ متصلة على $(1, 2)$ .

الدالة متصلة.

خطوة 5

الدالة قابلة للاشتقاق على $(1, 2)$ لأن المشتق متصل على $(1, 2)$ .

الدالة قابلة للاشتقاق.

خطوة 6

تستوفي $f (x)$ الشرطين لنظرية القيمة المتوسطة. إنها متصلة على $[1, 2]$ وقابلة للاشتقاق على $(1, 2)$ .

$f (x)$ متصلة على $[1, 2]$ وقابلة للاشتقاق على $(1, 2)$ .

خطوة 7

احسِب قيمة $f (a)$ من الفترة $[1, 2]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = {(1)}^{4} - 3 {(1)}^{3} + 4$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 1 - 3 {(1)}^{3} + 4$

خطوة 7.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 1 - 3 \cdot 1 + 4$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f (1) = 1 - 3 + 4$

خطوة 7.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اطرح $3$ من $1$ .

$f (1) = - 2 + 4$

خطوة 7.2.2.2

أضف $- 2$ و $4$ .

$f (1) = 2$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 8

احسِب قيمة $f (b)$ من الفترة $[1, 2]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = {(2)}^{4} - 3 {(2)}^{3} + 4$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f (2) = 16 - 3 {(2)}^{3} + 4$

خطوة 8.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f (2) = 16 - 3 \cdot 8 + 4$

خطوة 8.2.1.3

اضرب $- 3$ في $8$ .

$f (2) = 16 - 24 + 4$

خطوة 8.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

اطرح $24$ من $16$ .

$f (2) = - 8 + 4$

خطوة 8.2.2.2

أضف $- 8$ و $4$ .

$f (2) = - 4$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $- 4$ .

$- 4$

خطوة 9

أوجِد قيمة $x$ في $4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ . $4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- (f (2) + f (1))}{- (2 + 1)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط $\frac{(- 4) - (2)}{(2) - (1)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- 4 - 2}{2 - (1)}$

خطوة 9.1.1.2

اطرح $2$ من $- 4$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- 6}{2 - (1)}$

خطوة 9.1.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- 6}{2 - 1}$

خطوة 9.1.2.2

اطرح $1$ من $2$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- 6}{1}$

خطوة 9.1.3

اقسِم $- 6$ على $1$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} = - 6$

خطوة 9.2

مثّل كل متعادل بيانيًا. الحل هو قيمة x لنقطة التقاطع.

$x \approx - 0.711668, 1.18903787, 1.77263012$

خطوة 10

يوجد خط مماس عند $x = - 0.711668$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = 1$ و $b = 2$ .

يوجد خط مماس عند $x = - 0.711668$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = 1$ و $b = 2$

خطوة 11

يوجد خط مماس عند $x = 1.18903787$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = 1$ و $b = 2$ .

يوجد خط مماس عند $x = 1.18903787$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = 1$ و $b = 2$

خطوة 12

يوجد خط مماس عند $x = 1.77263012$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = 1$ و $b = 2$ .

يوجد خط مماس عند $x = 1.77263012$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = 1$ و $b = 2$

خطوة 13