حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 4 x^{2} \sin (x) \tan (x)$

خطوة 1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2} \sin (x) \tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x) \tan (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x) \tan (x)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2} \sin (x)$ و $g (x) = \tan (x)$ .

$4 (x^{2} \sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)])$

خطوة 3

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

خطوة 5

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)))$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \cos (x)) + \tan (x) (\sin (x) (2 x)))$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x)) + 4 (\tan (x) (x^{2} \cos (x))) + 4 (\tan (x) (\sin (x) (2 x)))$

خطوة 7.3

اضرب $2$ في $4$ .

$4 x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + 4 \tan (x) x^{2} \cos (x) + 8 \tan (x) \sin (x) x$

خطوة 7.4

أعِد ترتيب الحدود.

$4 x^{2} \sec^{2} (x) \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

خطوة 7.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$4 x^{2} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

خطوة 7.5.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$4 x^{2} \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

خطوة 7.5.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$4 x^{2} \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

خطوة 7.5.4

اضرب $4 x^{2} \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.4.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$x^{2} \frac{4}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

خطوة 7.5.4.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{4}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

خطوة 7.5.5

انقُل $4$ إلى يسار $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot x^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

خطوة 7.5.6

اجمع $\frac{4 x^{2}}{\cos^{2} (x)}$ و $\sin (x)$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

خطوة 7.5.7

أعِد الكتابة من حيث الجيوب وجيوب التمام، ثم احذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.7.1

أضف الأقواس.

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} (\cos (x) \tan (x)) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

خطوة 7.5.7.2

أعِد ترتيب $\cos (x)$ و $\tan (x)$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} (\tan (x) \cos (x)) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

خطوة 7.5.7.3

أعِد كتابة $4 x^{2} \cos (x) \tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

خطوة 7.5.7.4

ألغِ العوامل المشتركة.

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

خطوة 7.5.8

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

خطوة 7.5.9

اضرب $8 x \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.9.1

اجمع $8$ و $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + x \sin (x) \frac{8 \sin (x)}{\cos (x)}$

خطوة 7.5.9.2

اجمع $\frac{8 \sin (x)}{\cos (x)}$ و $x$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 \sin (x) x}{\cos (x)} \sin (x)$

خطوة 7.5.9.3

اجمع $\frac{8 \sin (x) x}{\cos (x)}$ و $\sin (x)$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 \sin (x) x \sin (x)}{\cos (x)}$

خطوة 7.5.9.4

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)}$

خطوة 7.5.9.5

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)}$

خطوة 7.5.9.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

خطوة 7.5.9.7

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

خطوة 7.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

خطوة 7.6.2

افصِل الكسور.

$\frac{4 x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

خطوة 7.6.3

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\frac{4 x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

خطوة 7.6.4

اجمع $\frac{4 x^{2}}{\cos (x)}$ و $\tan (x)$ .

$\frac{4 x^{2} \tan (x)}{\cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

خطوة 7.6.5

افصِل الكسور.

$\frac{4 x^{2}}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

خطوة 7.6.6

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{4 x^{2}}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

خطوة 7.6.7

أعِد كتابة $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ في صورة حاصل ضرب.

$\frac{4 x^{2}}{1} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

خطوة 7.6.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.8.1

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\frac{4 x^{2}}{1} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

خطوة 7.6.8.2

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\frac{4 x^{2}}{1} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

خطوة 7.6.9

اقسِم $4 x^{2}$ على $1$ .

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

خطوة 7.6.10

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $\sin^{2} (x)$ .

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)}$

خطوة 7.6.11

افصِل الكسور.

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

خطوة 7.6.12

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin (x))}{1} \tan (x)$

خطوة 7.6.13

اقسِم $8 x (\sin (x))$ على $1$ .

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x (\sin (x)) \tan (x)$

خطوة 7.7

أعِد ترتيب العوامل في $4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x (\sin (x)) \tan (x)$ .

$4 x^{2} \tan (x) \sec (x) + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x (\sin (x)) \tan (x)$