حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

خطوة 1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 + x^{2})}^{3}}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $x = \tan (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \sec^{2} (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\sec^{2} (t)$ موجبة.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 + \tan^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط $\sqrt{{(1 + \tan^{2} (t))}^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 3.1.2

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 3.1.3

اضرب الأُسس في ${(\sec^{2} (t))}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{\sec (t)}^{2 \cdot 3}}} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 3.1.3.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{6} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 3.1.4

أعِد كتابة $\sec^{6} (t)$ بالصيغة ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{3} (t))}^{2}}} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t)} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 3.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sec^{2} (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أخرِج العامل $\sec^{2} (t)$ من $\sec^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 3.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{\sec (t)} d t$

خطوة 3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أعِد كتابة $\sec (t)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

خطوة 3.2.2.2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\int 1 \cos (t) d t$

خطوة 3.2.2.3

اضرب $\cos (t)$ في $1$ .

$\int \cos (t) d t$

خطوة 4

تكامل $\cos (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\sin (t)$ .

$\sin (t) + C$

خطوة 5

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arctan (x)$ .

$\sin (\arctan (x)) + C$