حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin^{2} (4 x + 9)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (4 x + 9)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (4 x + 9)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (4 x + 9)$ .

$2 \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 4 x + 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $4 x + 9$ .

$2 \sin (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

خطوة 1.2.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (4 x + 9) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $4 x + 9$ .

$2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 1.3.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 1.3.4

اضرب $4$ في $1$ .

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 1.3.5

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) (4 + 0)$

خطوة 1.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

أضف $4$ و $0$ .

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) \cdot 4$

خطوة 1.3.6.2

اضرب $4$ في $2$ .

$8 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9)$

خطوة 1.3.6.3

أعِد ترتيب عوامل $8 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9)$ .

$f' (x) = 8 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \cos (4 x + 9)$ و $g (x) = \sin (4 x + 9)$ .

$8 (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 2.3

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $4 x + 9$ .

$8 (\cos (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 2.3.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$8 (\cos (4 x + 9) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x + 9$ .

$8 (\cos (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 2.4

ارفع $\cos (4 x + 9)$ إلى القوة $1$ .

$8 (\cos^{1} (4 x + 9) \cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 2.5

ارفع $\cos (4 x + 9)$ إلى القوة $1$ .

$8 (\cos^{1} (4 x + 9) \cos^{1} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$8 ({\cos (4 x + 9)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 2.7

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

أضف $1$ و $1$ .

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 2.7.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 2.7.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 2.7.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 2.7.5

اضرب $4$ في $1$ .

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 2.7.6

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 + 0) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 2.7.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.7.1

أضف $4$ و $0$ .

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) \cdot 4 + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 2.7.7.2

انقُل $4$ إلى يسار $\cos^{2} (4 x + 9)$ .

$8 (4 \cdot \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 4 x + 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $4 x + 9$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

خطوة 2.8.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

خطوة 2.8.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $4 x + 9$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

خطوة 2.9

ارفع $\sin (4 x + 9)$ إلى القوة $1$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - (\sin^{1} (4 x + 9) \sin (4 x + 9)) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

خطوة 2.10

ارفع $\sin (4 x + 9)$ إلى القوة $1$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - (\sin^{1} (4 x + 9) \sin^{1} (4 x + 9)) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

خطوة 2.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - {\sin (4 x + 9)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

خطوة 2.12

أضف $1$ و $1$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

خطوة 2.13

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]))$

خطوة 2.14

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]))$

خطوة 2.15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]))$

خطوة 2.16

اضرب $4$ في $1$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [9]))$

خطوة 2.17

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 + 0))$

خطوة 2.18

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.18.1

أضف $4$ و $0$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) \cdot 4)$

خطوة 2.18.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

خطوة 2.19

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.19.1

طبّق خاصية التوزيع.

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9)) + 8 (- 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

خطوة 2.19.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.19.2.1

اضرب $4$ في $8$ .

$32 \cos^{2} (4 x + 9) + 8 (- 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

خطوة 2.19.2.2

اضرب $- 4$ في $8$ .

$f'' (x) = 32 \cos^{2} (4 x + 9) - 32 \sin^{2} (4 x + 9)$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $32 \cos^{2} (4 x + 9) - 32 \sin^{2} (4 x + 9)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [32 \cos^{2} (4 x + 9)] + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [32 \cos^{2} (4 x + 9)] + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [32 \cos^{2} (4 x + 9)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $32$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $32 \cos^{2} (4 x + 9)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $32 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (4 x + 9)]$ .

$32 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (4 x + 9)] + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (4 x + 9)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\cos (4 x + 9)$ .

$32 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)]) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

خطوة 3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$32 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)]) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

خطوة 3.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\cos (4 x + 9)$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)]) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

خطوة 3.2.3

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $4 x + 9$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x + 9])) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

خطوة 3.2.3.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x + 9])) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

خطوة 3.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $4 x + 9$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9])) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

خطوة 3.2.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

خطوة 3.2.5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

خطوة 3.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

خطوة 3.2.7

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) (4 \cdot 1 + 0))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

خطوة 3.2.8

اضرب $4$ في $1$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) (4 + 0))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

خطوة 3.2.9

أضف $4$ و $0$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) \cdot 4)) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

خطوة 3.2.10

اضرب $4$ في $- 1$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- 4 \sin (4 x + 9))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

خطوة 3.2.11

اضرب $- 4$ في $2$ .

$32 (- 8 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

خطوة 3.2.12

اضرب $- 8$ في $32$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 32$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 32 \sin^{2} (4 x + 9)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 32 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (4 x + 9)]$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (4 x + 9)]$

خطوة 3.3.2

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $\sin (4 x + 9)$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)])$

خطوة 3.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ هو $n {u_{3}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)])$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $\sin (4 x + 9)$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)])$

خطوة 3.3.3

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{4}$ لتصبح $4 x + 9$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{4}} [\sin (u_{4})] \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

خطوة 3.3.3.2

مشتق $\sin (u_{4})$ بالنسبة إلى $u_{4}$ يساوي $\cos (u_{4})$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (u_{4}) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

خطوة 3.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{4}$ بـ $4 x + 9$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

خطوة 3.3.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9])))$

خطوة 3.3.5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])))$

خطوة 3.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])))$

خطوة 3.3.7

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) (4 \cdot 1 + 0)))$

خطوة 3.3.8

اضرب $4$ في $1$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) (4 + 0)))$

خطوة 3.3.9

أضف $4$ و $0$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) \cdot 4))$

خطوة 3.3.10

انقُل $4$ إلى يسار $\cos (4 x + 9)$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (4 \cdot \cos (4 x + 9)))$

خطوة 3.3.11

اضرب $4$ في $2$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (8 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9))$

خطوة 3.3.12

اضرب $8$ في $- 32$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 256 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9)$

خطوة 3.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد ترتيب عوامل $- 256 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9)$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$

خطوة 3.4.2

اطرح $256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$ من $- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$ .

$f''' (x) = - 512 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $- 512$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 512 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 512 \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)]$ .

$- 512 \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)]$

خطوة 4.2

$- 512 (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 4.3

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $4 x + 9$ .

$- 512 (\cos (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 4.3.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$- 512 (\cos (4 x + 9) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 4.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x + 9$ .

$- 512 (\cos (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 4.4

ارفع $\cos (4 x + 9)$ إلى القوة $1$ .

$- 512 (\cos^{1} (4 x + 9) \cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 4.5

ارفع $\cos (4 x + 9)$ إلى القوة $1$ .

$- 512 (\cos^{1} (4 x + 9) \cos^{1} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 4.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 512 ({\cos (4 x + 9)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 4.7

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

أضف $1$ و $1$ .

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 4.7.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 4.7.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 4.7.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 4.7.5

اضرب $4$ في $1$ .

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 4.7.6

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 + 0) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 4.7.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.7.1

أضف $4$ و $0$ .

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) \cdot 4 + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 4.7.7.2

انقُل $4$ إلى يسار $\cos^{2} (4 x + 9)$ .

$- 512 (4 \cdot \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

خطوة 4.8

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $4 x + 9$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

خطوة 4.8.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

خطوة 4.8.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $4 x + 9$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

خطوة 4.9

ارفع $\sin (4 x + 9)$ إلى القوة $1$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - (\sin^{1} (4 x + 9) \sin (4 x + 9)) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

خطوة 4.10

ارفع $\sin (4 x + 9)$ إلى القوة $1$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - (\sin^{1} (4 x + 9) \sin^{1} (4 x + 9)) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

خطوة 4.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - {\sin (4 x + 9)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

خطوة 4.12

أضف $1$ و $1$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

خطوة 4.13

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]))$

خطوة 4.14

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]))$

خطوة 4.15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]))$

خطوة 4.16

اضرب $4$ في $1$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [9]))$

خطوة 4.17

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 + 0))$

خطوة 4.18

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.18.1

أضف $4$ و $0$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) \cdot 4)$

خطوة 4.18.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

خطوة 4.19

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.19.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9)) - 512 (- 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

خطوة 4.19.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.19.2.1

اضرب $4$ في $- 512$ .

$- 2048 \cos^{2} (4 x + 9) - 512 (- 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

خطوة 4.19.2.2

اضرب $- 4$ في $- 512$ .

$f^{4} (x) = - 2048 \cos^{2} (4 x + 9) + 2048 \sin^{2} (4 x + 9)$