حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\infty} e^{- x} d x$

خطوة 1

اكتب التكامل في صورة نهاية عند اقتراب $t$ من $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- x} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

خطوة 2.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = - x$ .

$u_{upper} = - t$

خطوة 2.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - t$

خطوة 2.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- t} - e^{u} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

خطوة 4

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{u}]_{0}^{- t})$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $e^{u}$ في $- t$ وفي $0$ .

$lim_{t \to \infty} - ((e^{- t}) - e^{0})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- t} - 1 \cdot 1)$

خطوة 5.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- t} - 1)$

خطوة 6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

خطوة 6.1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $\infty$ .

$- (lim_{t \to \infty} e^{- t} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 6.2

بما أن الأُس $- t$ يقترب من $- \infty$ ، إذن الكمية $e^{- t}$ تقترب من $0$ .

$- (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 6.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $\infty$ .

$- (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 6.3.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- (0 - 1)$

خطوة 6.3.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$- - 1$

خطوة 6.3.2.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1$