حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{x + k e^{x}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1$ و $g (x) = x + k e^{x}$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [x + k e^{x}]}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [x + k e^{x}]}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + k e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [k e^{x}]$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [k e^{x}])}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (1 + \frac{d}{d x} [k e^{x}])}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [k e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $k$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $k e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $k \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (1 + k \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (1 + k e^{x})}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (e^{x} k + 1)}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} k + 1$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x} + 1)}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot 0 + k e^{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x} + 1)}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot 0 + k e^{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

اضرب $x$ في $0$ .

$\frac{0 + k e^{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

خطوة 5.3.1.2

اضرب $k e^{x} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.1

اضرب $0$ في $k$ .

$\frac{0 + 0 e^{x} - 1 \cdot 1 (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

خطوة 5.3.1.2.2

اضرب $0$ في $e^{x}$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

خطوة 5.3.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{0 + 0 - (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

خطوة 5.3.1.4

اضرب $- 1 \cdot 1 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{0 + 0 - k e^{x} - 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

خطوة 5.3.1.4.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{0 + 0 - k e^{x} - 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

خطوة 5.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $0 + 0 - k e^{x} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0 - k e^{x} - 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

خطوة 5.3.2.2

اطرح $k e^{x}$ من $0$ .

$\frac{- k e^{x} - 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

خطوة 5.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- e^{x} k - 1}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

خطوة 5.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- e^{x} k$ .

$\frac{- (e^{x} k) - 1}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

خطوة 5.6

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{- (e^{x} k) - 1 (1)}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

خطوة 5.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (e^{x} k) - 1 (1)$ .

$\frac{- (e^{x} k + 1)}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

خطوة 5.8

أعِد كتابة $- (e^{x} k + 1)$ بالصيغة $- 1 (e^{x} k + 1)$ .

$\frac{- 1 (e^{x} k + 1)}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

خطوة 5.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{e^{x} k + 1}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

خطوة 5.10

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{e^{x} k + 1}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$ .

$- \frac{k e^{x} + 1}{{(k e^{x} + x)}^{2}}$