حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sqrt{3 - 2 x} x^{2} d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x^{2}$ و $d v = \sqrt{3 - 2 x}$ .

$x^{2} (- \frac{1}{3} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{3} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع ${(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}$ و $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} (- \frac{{(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \int - \frac{1}{3} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

خطوة 2.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{{(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{1}{3} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

خطوة 3

بما أن $- \frac{1}{3} \cdot 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- \frac{1}{3} \cdot 2$ خارج التكامل.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot 2 \int {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (- 2 (\frac{1}{3}) \int {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

خطوة 4.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{- 2}{3} \int {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

خطوة 4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{2}{3} \int {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

خطوة 4.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 (\frac{2}{3} \int {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

خطوة 4.5

اضرب $\frac{2}{3}$ في $1$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \int {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 3 - 2 x$ . إذن $d u = - 2 d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 3 - 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $3 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

خطوة 5.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 - 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 5.1.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

خطوة 5.1.3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$0 - 2$

خطوة 5.1.4

اطرح $2$ من $0$ .

$- 2$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 6.2

اجمع $u^{\frac{3}{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (- \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}) d u$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}) d u)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

خطوة 8.2

اجمع $- \frac{u}{2}$ و $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u \cdot u^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

خطوة 8.3

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{1} u^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

خطوة 8.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{1 + \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

خطوة 8.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

خطوة 8.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{\frac{2 + 3}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

خطوة 8.7

أضف $2$ و $3$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

خطوة 8.8

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

خطوة 8.9

اضرب $\frac{3}{2}$ في $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{3 u^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} d u)$

خطوة 8.10

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{3 u^{\frac{3}{2}}}{4} d u)$

خطوة 8.11

أعِد ترتيب $- \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4}$ و $\frac{3 u^{\frac{3}{2}}}{4}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int \frac{3 u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} d u)$

خطوة 9

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\int \frac{3 u^{\frac{3}{2}}}{4} d u + \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} d u))$

خطوة 10

بما أن $\frac{3}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{3}{4}$ خارج التكامل.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} d u))$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} d u))$

خطوة 12

اجمع $\frac{2}{5}$ و $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} d u))$

خطوة 13

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) - \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} d u))$

خطوة 14

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) - (\frac{1}{4} \int u^{\frac{5}{2}} d u)))$

خطوة 15

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{5}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C)))$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

اجمع $\frac{2}{7}$ و $u^{\frac{7}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C)))$

خطوة 16.2

بسّط.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14})) + C$

خطوة 16.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.1

لكتابة $\frac{2}{3} (- (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}))$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14})) \cdot \frac{3}{3} + C$

خطوة 16.3.2

اجمع $\frac{2}{3} (- (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}))$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{\frac{2}{3} (- (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14})) \cdot 3}{3} + C$

خطوة 16.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14})) \cdot 3}{3} + C$

خطوة 16.3.4

اجمع $\frac{2}{3}$ و $3$ .

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot \frac{2 \cdot 3}{3}}{3} + C$

خطوة 16.3.5

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot \frac{6}{3}}{3} + C$

خطوة 16.3.6

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.6.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot \frac{3 \cdot 2}{3}}{3} + C$

خطوة 16.3.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot \frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}{3} + C$

خطوة 16.3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}{3} + C$

خطوة 16.3.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot \frac{2}{1}}{3} + C$

خطوة 16.3.6.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot 2}{3} + C$

خطوة 16.3.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14})}{3} + C$

خطوة 17

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 - 2 x$ .

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{{(3 - 2 x)}^{\frac{7}{2}}}{14})}{3} + C$

خطوة 18

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3} (- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{10} {(3 - 2 x)}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{14} {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{2}})) + C$