حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{2 y}} d y$

خطوة 1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اعكِس علامة أُس $e^{2 y}$ وأخرِجها من القاسم.

$\int_{0}^{1} y {(e^{2 y})}^{- 1} d y$

خطوة 1.2

اضرب الأُسس في ${(e^{2 y})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} y e^{2 y \cdot - 1} d y$

خطوة 1.2.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\int_{0}^{1} y e^{- 2 y} d y$

خطوة 2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = y$ و $d v = e^{- 2 y}$ .

$y (- \frac{1}{2} e^{- 2 y})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $e^{- 2 y}$ و $\frac{1}{2}$ .

$y (- \frac{e^{- 2 y}}{2})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

خطوة 3.2

اجمع $y$ و $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

خطوة 4

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- \frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y)$

خطوة 5.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y$

خطوة 6

لنفترض أن $u = - 2 y$ . إذن $d u = - 2 d y$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = - 2 y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

خطوة 6.1.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

خطوة 6.1.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2$

خطوة 6.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $y$ في $u = - 2 y$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

خطوة 6.3

اضرب $- 2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 6.4

عوّض بالنهاية العليا عن $y$ في $u = - 2 y$ .

$u_{upper} = - 2 \cdot 1$

خطوة 6.5

اضرب $- 2$ في $1$ .

$u_{upper} = - 2$

خطوة 6.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

خطوة 6.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 7.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} - \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u)$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u))$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

خطوة 10.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

خطوة 11

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2}$

خطوة 12

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

احسِب قيمة $- \frac{y e^{- 2 y}}{2}$ في $1$ وفي $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 2 \cdot 1}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2}$

خطوة 12.2

احسِب قيمة $e^{u}$ في $- 2$ وفي $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 2 \cdot 1}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

خطوة 12.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- \frac{1 e^{- 2}}{2} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

خطوة 12.3.2

اضرب $e^{- 2}$ في $1$ .

$- \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

خطوة 12.3.3

انقُل $e^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

خطوة 12.3.4

اضرب $- 2$ في $0$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 e^{0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

خطوة 12.3.5

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 \cdot 1}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

خطوة 12.3.6

اضرب $0$ في $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

خطوة 12.3.7

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.7.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 (0)}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

خطوة 12.3.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

خطوة 12.3.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

خطوة 12.3.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0}{1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

خطوة 12.3.7.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + 0 - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

خطوة 12.3.8

أضف $- \frac{1}{2 e^{2}}$ و $0$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

خطوة 12.3.9

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

خطوة 12.3.10

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$

خطوة 12.3.11

لكتابة $- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) \cdot \frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$

خطوة 12.3.12

اجمع $- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$ و $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) (2 e^{2})}{2 e^{2}}$

خطوة 12.3.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 1 - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) (2 e^{2})}{2 e^{2}}$

خطوة 12.3.14

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 1 - 2 (\frac{1}{4}) (e^{- 2} - 1) e^{2}}{2 e^{2}}$

خطوة 12.3.15

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 2}{4} (e^{- 2} - 1) e^{2}}{2 e^{2}}$

خطوة 12.3.16

اجمع $e^{2}$ و $\frac{- 2}{4}$ .

$\frac{- 1 + \frac{e^{2} \cdot - 2}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

خطوة 12.3.17

انقُل $- 2$ إلى يسار $e^{2}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 2 \cdot e^{2}}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

خطوة 12.3.18

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.18.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 e^{2}$ .

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

خطوة 12.3.18.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.18.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{2 (2)} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

خطوة 12.3.18.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{2 \cdot 2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

خطوة 12.3.18.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1 + \frac{- e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

خطوة 12.3.19

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{- 1 - \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

خطوة 13.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)$ .

$\frac{- 1 (1) - (\frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))}{2 e^{2}}$

خطوة 13.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (\frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))$ .

$\frac{- 1 (1 + \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))}{2 e^{2}}$

خطوة 13.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1 + \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{1 + \frac{e^{2}}{2} e^{- 2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

خطوة 14.2

اضرب $\frac{e^{2}}{2} e^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

اجمع $\frac{e^{2}}{2}$ و $e^{- 2}$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{2} e^{- 2}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

خطوة 14.2.2

اضرب $e^{2}$ في $e^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{1 + \frac{e^{2 - 2}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

خطوة 14.2.2.2

اطرح $2$ من $2$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{0}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

خطوة 14.2.3

بسّط $e^{0}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

خطوة 14.3

اجمع $\frac{e^{2}}{2}$ و $- 1$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{e^{2} \cdot - 1}{2}}{2 e^{2}}$

خطوة 14.4

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{2}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

خطوة 14.5

أعِد كتابة $- 1 e^{2}$ بالصيغة $- e^{2}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

خطوة 14.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.6.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{\frac{2}{2} + \frac{1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

خطوة 14.6.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{\frac{2 + 1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

خطوة 14.6.3

أضف $2$ و $1$ .

$- \frac{\frac{3}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

خطوة 14.6.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{\frac{3 - e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

خطوة 14.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- (\frac{3 - e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}})$

خطوة 14.8

اضرب $\frac{3 - e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.8.1

اضرب $\frac{3 - e^{2}}{2}$ في $\frac{1}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{3 - e^{2}}{2 (2 e^{2})}$

خطوة 14.8.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{3 - e^{2}}{4 e^{2}}$

خطوة 15

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{3 - e^{2}}{4 e^{2}}$

الصيغة العشرية:

$0.14849853 \dots$

خطوة 16