حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

أوجد القيمة العظمى المحلية والقيمة الصغرى المحلية f(x)=( اللوغاريتم الطبيعي لـ x)/x
خطوة 1
أوجِد المشتق الأول للدالة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.1
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن هو حيث و.
خطوة 1.2
مشتق بالنسبة إلى يساوي .
خطوة 1.3
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.3.1
اجمع و.
خطوة 1.3.2
ألغِ العامل المشترك لـ .
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.3.2.1
ألغِ العامل المشترك.
خطوة 1.3.2.2
أعِد كتابة العبارة.
خطوة 1.3.3
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن هو حيث .
خطوة 1.3.4
اضرب في .
خطوة 2
أوجِد المشتق الثاني للدالة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 2.1
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن هو حيث و.
خطوة 2.2
أوجِد المشتقة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 2.2.1
اضرب الأُسس في .
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 2.2.1.1
طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، .
خطوة 2.2.1.2
اضرب في .
خطوة 2.2.2
وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق بالنسبة إلى هو .
خطوة 2.2.3
بما أن عدد ثابت بالنسبة إلى ، فإن مشتق بالنسبة إلى هو .
خطوة 2.2.4
أضف و.
خطوة 2.2.5
بما أن عدد ثابت بالنسبة إلى ، إذن مشتق بالنسبة إلى يساوي .
خطوة 2.3
مشتق بالنسبة إلى يساوي .
خطوة 2.4
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 2.4.1
اجمع و.
خطوة 2.4.2
احذِف العامل المشترك لـ و.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 2.4.2.1
أخرِج العامل من .
خطوة 2.4.2.2
ألغِ العوامل المشتركة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 2.4.2.2.1
ارفع إلى القوة .
خطوة 2.4.2.2.2
أخرِج العامل من .
خطوة 2.4.2.2.3
ألغِ العامل المشترك.
خطوة 2.4.2.2.4
أعِد كتابة العبارة.
خطوة 2.4.2.2.5
اقسِم على .
خطوة 2.4.3
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن هو حيث .
خطوة 2.4.4
بسّط بالتحليل إلى عوامل.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 2.4.4.1
اضرب في .
خطوة 2.4.4.2
أخرِج العامل من .
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 2.4.4.2.1
أخرِج العامل من .
خطوة 2.4.4.2.2
أخرِج العامل من .
خطوة 2.4.4.2.3
أخرِج العامل من .
خطوة 2.5
ألغِ العوامل المشتركة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 2.5.1
أخرِج العامل من .
خطوة 2.5.2
ألغِ العامل المشترك.
خطوة 2.5.3
أعِد كتابة العبارة.
خطوة 2.6
بسّط.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 2.6.1
طبّق خاصية التوزيع.
خطوة 2.6.2
بسّط بَسْط الكسر.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 2.6.2.1
بسّط كل حد.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 2.6.2.1.1
اضرب في .
خطوة 2.6.2.1.2
اضرب .
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 2.6.2.1.2.1
اضرب في .
خطوة 2.6.2.1.2.2
بسّط بنقل داخل اللوغاريتم.
خطوة 2.6.2.2
اطرح من .
خطوة 2.6.3
أعِد كتابة بالصيغة .
خطوة 2.6.4
أخرِج العامل من .
خطوة 2.6.5
أخرِج العامل من .
خطوة 2.6.6
انقُل السالب أمام الكسر.
خطوة 3
لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ وأوجِد الحل.
خطوة 4
أوجِد المشتق الأول.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.1
أوجِد المشتق الأول.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.1.1
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن هو حيث و.
خطوة 4.1.2
مشتق بالنسبة إلى يساوي .
خطوة 4.1.3
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.1.3.1
اجمع و.
خطوة 4.1.3.2
ألغِ العامل المشترك لـ .
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.1.3.2.1
ألغِ العامل المشترك.
خطوة 4.1.3.2.2
أعِد كتابة العبارة.
خطوة 4.1.3.3
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن هو حيث .
خطوة 4.1.3.4
اضرب في .
خطوة 4.2
المشتق الأول لـ بالنسبة إلى هو .
خطوة 5
عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ ثم أوجِد حل المعادلة .
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 5.1
عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ .
خطوة 5.2
عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.
خطوة 5.3
أوجِد قيمة في المعادلة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 5.3.1
اطرح من كلا المتعادلين.
خطوة 5.3.2
اقسِم كل حد في على وبسّط.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 5.3.2.1
اقسِم كل حد في على .
خطوة 5.3.2.2
بسّط الطرف الأيسر.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 5.3.2.2.1
قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.
خطوة 5.3.2.2.2
اقسِم على .
خطوة 5.3.2.3
بسّط الطرف الأيمن.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 5.3.2.3.1
اقسِم على .
خطوة 5.3.3
لإيجاد قيمة ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.
خطوة 5.3.4
أعِد كتابة بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان و عددين حقيقيين موجبين وكان ، إذن تكافئ .
خطوة 5.3.5
أعِد كتابة المعادلة في صورة .
خطوة 6
أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 6.1
عيّن قيمة القاسم في بحيث تصبح مساوية لـ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.
خطوة 6.2
أوجِد قيمة .
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 6.2.1
خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.
خطوة 6.2.2
بسّط .
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 6.2.2.1
أعِد كتابة بالصيغة .
خطوة 6.2.2.2
أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.
خطوة 6.2.2.3
زائد أو ناقص يساوي .
خطوة 6.3
عيّن قيمة المتغير المستقل في بحيث تصبح أصغر من أو تساوي لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.
خطوة 6.4
تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي .
خطوة 7
النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.
خطوة 8
احسِب قيمة المشتق الثاني في . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.
خطوة 9
بسّط بَسْط الكسر.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 9.1
استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل خارج الأُس.
خطوة 9.2
اللوغاريتم الطبيعي لـ يساوي .
خطوة 9.3
اضرب في .
خطوة 9.4
اضرب في .
خطوة 9.5
اطرح من .
خطوة 10
هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.
هي حد أقصى محلي
خطوة 11
أوجِد قيمة "ص" عندما تكون .
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 11.1
استبدِل المتغير بـ في العبارة.
خطوة 11.2
بسّط النتيجة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 11.2.1
اللوغاريتم الطبيعي لـ يساوي .
خطوة 11.2.2
الإجابة النهائية هي .
خطوة 12
هذه هي القيم القصوى المحلية لـ .
هي نقطة قصوى محلية
خطوة 13