حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int t^{3} e^{- t^{2}} d t$

خطوة 1

لنفترض أن $u = - t^{2}$ . إذن $d u = - 2 t d t$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = - t^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $- t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- t^{2}]$

خطوة 1.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{d}{d t} [t^{2}]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- (2 t)$

خطوة 1.1.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 t$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int {\sqrt{- u}}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${\sqrt{- u}}^{2}$ بالصيغة $- u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{- u}$ في صورة ${(- u)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(- u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(- u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int {(- u)}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2.1.5

بسّط.

$\int - u e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int - u e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 2.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int 1 u e^{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.4

اضرب $u$ في $1$ .

$\int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u$ .

$\int \frac{u}{2} e^{u} d u$

خطوة 2.6

اجمع $\frac{u}{2}$ و $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

خطوة 4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int w d v = w v - \int v d w$ ، حيث $w = u$ و $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

خطوة 5

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

خطوة 6

بسّط.

$\frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- t^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}} - e^{- t^{2}}) + C$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

خطوة 8.2

اضرب $\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t^{2}$ .

$- \frac{t^{2}}{2} e^{- t^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

خطوة 8.2.2

اجمع $e^{- t^{2}}$ و $\frac{t^{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

خطوة 8.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{- t^{2}}$ .

$- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + C$

خطوة 8.4

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2}$ .

$- \frac{t^{2} e^{- t^{2}}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + C$

خطوة 9

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{2} t^{2} e^{- t^{2}} - \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + C$