حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{4}^{5} x \sqrt{x - 4} d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sqrt{x - 4}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})]_{4}^{5} - \int_{4}^{5} \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و ${(x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{5} - \int_{4}^{5} \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 2.2

اجمع $x$ و $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{4}^{5} - \int_{4}^{5} \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{2}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{4}^{5} - (\frac{2}{3} \int_{4}^{5} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x)$

خطوة 4

لنفترض أن $u = x - 4$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = x - 4$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

خطوة 4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 4.1.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x - 4$ .

$u_{lower} = 4 - 4$

خطوة 4.3

اطرح $4$ من $4$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 4.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x - 4$ .

$u_{upper} = 5 - 4$

خطوة 4.5

اطرح $4$ من $5$ .

$u_{upper} = 1$

خطوة 4.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

خطوة 4.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{4}^{5} - \frac{2}{3} \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{4}^{5} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ في $5$ وفي $4$ .

$(\frac{5 (2 {(5 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

خطوة 6.2

احسِب قيمة $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ في $1$ وفي $0$ .

$(\frac{5 (2 {(5 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اطرح $4$ من $5$ .

$\frac{5 (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{5 (2 \cdot 1)}{3} - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{5 \cdot 2}{3} - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.4

اضرب $5$ في $2$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.5

اطرح $4$ من $4$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.6

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.7

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.8.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0^{3})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.9

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.10

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.11

اضرب $4$ في $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.12

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.12.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.12.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{10}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{10}{3} - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.12.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$\frac{10}{3} - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.13

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{10}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.14

أضف $\frac{10}{3}$ و $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.15

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.16

اضرب $\frac{2}{5}$ في $1$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.17

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.18

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

خطوة 6.3.19

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.19.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

خطوة 6.3.19.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

خطوة 6.3.20

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

خطوة 6.3.21

اضرب $0$ في $- 1$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

خطوة 6.3.22

اضرب $0$ في $\frac{2}{5}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0)$

خطوة 6.3.23

أضف $\frac{2}{5}$ و $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}$

خطوة 6.3.24

اضرب $\frac{2}{5}$ في $\frac{2}{3}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

خطوة 6.3.25

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3}$

خطوة 6.3.26

اضرب $5$ في $3$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4}{15}$

خطوة 6.3.27

لكتابة $\frac{10}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$\frac{10}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{15}$

خطوة 6.3.28

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $15$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.28.1

اضرب $\frac{10}{3}$ في $\frac{5}{5}$ .

$\frac{10 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4}{15}$

خطوة 6.3.28.2

اضرب $3$ في $5$ .

$\frac{10 \cdot 5}{15} - \frac{4}{15}$

خطوة 6.3.29

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{10 \cdot 5 - 4}{15}$

خطوة 6.3.30

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.30.1

اضرب $10$ في $5$ .

$\frac{50 - 4}{15}$

خطوة 6.3.30.2

اطرح $4$ من $50$ .

$\frac{46}{15}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{46}{15}$

الصيغة العشرية:

$3.0\overline{6}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$3 \frac{1}{15}$

خطوة 8