حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 36}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = 6 \tan (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 6 \sec^{2} (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $6 \sec^{2} (t)$ موجبة.

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(6 \tan (t))}^{2} + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{{(6 \tan (t))}^{2} + 36}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $6 \tan (t)$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{6^{2} \tan^{2} (t) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.1.2

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{36 \tan^{2} (t) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $36$ من $36 \tan^{2} (t) + 36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أخرِج العامل $36$ من $36 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{36 (\tan^{2} (t)) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.2.2

أخرِج العامل $36$ من $36$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{36 (\tan^{2} (t)) + 36 (1)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.2.3

أخرِج العامل $36$ من $36 (\tan^{2} (t)) + 36 (1)$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{36 (\tan^{2} (t) + 1)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.3

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{36 \sec^{2} (t)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.4

أعِد كتابة $36 \sec^{2} (t)$ بالصيغة ${(6 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(6 \sec (t))}^{2}}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{6 \sec (t)} (6 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6 \sec (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $6 \sec (t)$ من $6 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{6 \sec (t)} (6 \sec (t) (\sec (t))) d t$

خطوة 2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{6 \sec (t)} (6 \sec (t) \sec (t)) d t$

خطوة 2.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int {(6 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل $6$ من $6 \tan (t)$ .

$\int {(6 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

خطوة 2.2.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $6 (\tan (t))$ .

$\int 6^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

خطوة 2.2.2.3

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$\int 216 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

خطوة 3

بما أن $216$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $216$ خارج التكامل.

$216 \int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

خطوة 4

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$216 \int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

خطوة 5

أخرِج عامل $\tan^{2} (t)$ .

$216 \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

خطوة 6

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (t)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$216 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

خطوة 7

بسّط.

$216 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

خطوة 8

لنفترض أن $u = \sec (t)$ . إذن $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ ، لذا $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = \sec (t)$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

خطوة 8.1.2

مشتق $\sec (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$216 \int - 1 + u^{2} d u$

خطوة 9

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$216 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$216 (- u + C + \int u^{2} d u)$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$216 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{3}$ .

$216 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

خطوة 12.2

بسّط.

$216 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

خطوة 13

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sec (t)$ .

$216 (- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t)) + C$

خطوة 13.2

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arctan (\frac{x}{6})$ .

$216 (- \sec (\arctan (\frac{x}{6})) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(1, \frac{x}{6})$ و $(1, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\arctan (\frac{x}{6})$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(1, \frac{x}{6})$ . إذن، $\sec (\arctan (\frac{x}{6}))$ تساوي $\sqrt{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}}$ .

$216 (- \sqrt{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

خطوة 14.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x}{6}$ .

$216 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

خطوة 14.1.3

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$216 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{36}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

خطوة 14.1.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$216 (- \sqrt{\frac{36}{36} + \frac{x^{2}}{36}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

خطوة 14.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$216 (- \sqrt{\frac{36 + x^{2}}{36}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

خطوة 14.1.6

أعِد كتابة $\frac{36 + x^{2}}{36}$ بالصيغة ${(\frac{1}{6})}^{2} (36 + x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.6.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $36 + x^{2}$ .

$216 (- \sqrt{\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{36}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

خطوة 14.1.6.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $6^{2}$ من $36$ .

$216 (- \sqrt{\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{6^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

خطوة 14.1.6.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{6^{2} \cdot 1}$ .

$216 (- \sqrt{{(\frac{1}{6})}^{2} (36 + x^{2})} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

خطوة 14.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$216 (- (\frac{1}{6} \sqrt{36 + x^{2}}) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

خطوة 14.1.8

اجمع $\frac{1}{6}$ و $\sqrt{36 + x^{2}}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

خطوة 14.1.9

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}}}^{3}) + C$

خطوة 14.1.10

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x}{6}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{6^{2}}}}^{3}) + C$

خطوة 14.1.11

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{36}}}^{3}) + C$

خطوة 14.1.12

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{36}{36} + \frac{x^{2}}{36}}}^{3}) + C$

خطوة 14.1.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{36 + x^{2}}{36}}}^{3}) + C$

خطوة 14.1.14

أعِد كتابة $\frac{36 + x^{2}}{36}$ بالصيغة ${(\frac{1}{6})}^{2} (36 + x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.14.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $36 + x^{2}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{36}}}^{3}) + C$

خطوة 14.1.14.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $6^{2}$ من $36$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{6^{2} \cdot 1}}}^{3}) + C$

خطوة 14.1.14.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{6^{2} \cdot 1}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{{(\frac{1}{6})}^{2} (36 + x^{2})}}^{3}) + C$

خطوة 14.1.15

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{6} \sqrt{36 + x^{2}})}^{3}) + C$

خطوة 14.1.16

اجمع $\frac{1}{6}$ و $\sqrt{36 + x^{2}}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {(\frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6})}^{3}) + C$

خطوة 14.1.17

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}}{6^{3}}) + C$

خطوة 14.1.18

اجمع.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1 {\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 6^{3}}) + C$

خطوة 14.1.19

اضرب ${\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}$ في $1$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{{\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 6^{3}}) + C$

خطوة 14.1.20

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{{\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 216}) + C$

خطوة 14.1.21

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.21.1

أعِد كتابة ${\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{{(36 + x^{2})}^{3}}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{{(36 + x^{2})}^{3}}}{3 \cdot 216}) + C$

خطوة 14.1.21.2

أخرِج عامل ${(36 + x^{2})}^{2}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{{(36 + x^{2})}^{2} (36 + x^{2})}}{3 \cdot 216}) + C$

خطوة 14.1.21.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{(36 + x^{2}) \sqrt{36 + x^{2}}}{3 \cdot 216}) + C$

خطوة 14.1.21.4

طبّق خاصية التوزيع.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{36 \sqrt{36 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{36 + x^{2}}}{3 \cdot 216}) + C$

خطوة 14.1.21.5

أخرِج العامل $\sqrt{36 + x^{2}}$ من $36 \sqrt{36 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{36 + x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.21.5.1

أخرِج العامل $\sqrt{36 + x^{2}}$ من $36 \sqrt{36 + x^{2}}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} \cdot 36 + x^{2} \sqrt{36 + x^{2}}}{3 \cdot 216}) + C$

خطوة 14.1.21.5.2

أخرِج العامل $\sqrt{36 + x^{2}}$ من $x^{2} \sqrt{36 + x^{2}}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} \cdot 36 + \sqrt{36 + x^{2}} x^{2}}{3 \cdot 216}) + C$

خطوة 14.1.21.5.3

أخرِج العامل $\sqrt{36 + x^{2}}$ من $\sqrt{36 + x^{2}} \cdot 36 + \sqrt{36 + x^{2}} x^{2}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{3 \cdot 216}) + C$

خطوة 14.1.22

اضرب $3$ في $216$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{648}) + C$

خطوة 14.2

لكتابة $- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{108}{108}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} \cdot \frac{108}{108} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{648}) + C$

خطوة 14.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $648$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

اضرب $\frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6}$ في $\frac{108}{108}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108}{6 \cdot 108} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{648}) + C$

خطوة 14.3.2

اضرب $6$ في $108$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108}{648} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{648}) + C$

خطوة 14.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$216 \frac{- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108 + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{648} + C$

خطوة 14.5

ألغِ العامل المشترك لـ $216$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.1

أخرِج العامل $216$ من $648$ .

$216 \frac{- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108 + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{216 (3)} + C$

خطوة 14.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$216 \frac{- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108 + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{216 \cdot 3} + C$

خطوة 14.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108 + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{3} + C$

خطوة 14.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.6.1

أخرِج العامل $\sqrt{36 + x^{2}}$ من $- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108 + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.6.1.1

أخرِج العامل $\sqrt{36 + x^{2}}$ من $- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 \cdot 108) + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{3} + C$

خطوة 14.6.1.2

أخرِج العامل $\sqrt{36 + x^{2}}$ من $\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 \cdot 108) + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 \cdot 108 + 36 + x^{2})}{3} + C$

خطوة 14.6.2

اضرب $- 1$ في $108$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 108 + 36 + x^{2})}{3} + C$

خطوة 14.6.3

أضف $- 108$ و $36$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 72 + x^{2})}{3} + C$

خطوة 14.7

أعِد كتابة $- 72$ بالصيغة $- 1 (72)$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 (72) + x^{2})}{3} + C$

خطوة 14.8

أخرِج العامل $- 1$ من $x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 (72) - 1 (- x^{2}))}{3} + C$

خطوة 14.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (72) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 (72 - x^{2}))}{3} + C$

خطوة 14.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (72 - x^{2})}{3} + C$