حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{45} \frac{1}{\sqrt{t + 4}} d t$

خطوة 1

لنفترض أن $u = t + 4$ . إذن $d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = t + 4$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $t + 4$ .

$\frac{d}{d t} [t + 4]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t + 4$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [4]$

خطوة 1.1.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = t + 4$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

خطوة 1.3

أضف $0$ و $4$ .

$u_{lower} = 4$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = t + 4$ .

$u_{upper} = 45 + 4$

خطوة 1.5

أضف $45$ و $4$ .

$u_{upper} = 49$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 49$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{4}^{49} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{49} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 2.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int_{4}^{49} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 2.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{4}^{49} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\int_{4}^{49} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{4}^{49} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{49}$

خطوة 4

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة $2 u^{\frac{1}{2}}$ في $49$ وفي $4$ .

$(2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد كتابة $49$ بالصيغة $7^{2}$ .

$2 \cdot {(7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \cdot 7^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2.4

احسِب قيمة الأُس.

$2 \cdot 7 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2.5

اضرب $2$ في $7$ .

$14 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2.6

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$14 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2.7

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

خطوة 4.2.8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$14 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

خطوة 4.2.8.2

أعِد كتابة العبارة.

$14 - 2 \cdot 2^{1}$

خطوة 4.2.9

احسِب قيمة الأُس.

$14 - 2 \cdot 2$

خطوة 4.2.10

اضرب $- 2$ في $2$ .

$14 - 4$

خطوة 4.2.11

اطرح $4$ من $14$ .

$10$

خطوة 5