حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(3 x - 8) \ln (2 x^{5} + 3)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 3 x - 8$ و $g (x) = \ln (2 x^{5} + 3)$ .

$(3 x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{5} + 3)] + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 2 x^{5} + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x^{5} + 3$ .

$(3 x - 8) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$(3 x - 8) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x^{5} + 3$ .

$(3 x - 8) (\frac{1}{2 x^{5} + 3} \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{5} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

خطوة 3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

خطوة 3.4

اضرب $5$ في $2$ .

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (10 x^{4} + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

خطوة 3.5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (10 x^{4} + 0) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

خطوة 3.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $10 x^{4}$ و $0$ .

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (10 x^{4}) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

خطوة 3.6.2

اجمع $10$ و $\frac{1}{2 x^{5} + 3}$ .

$(3 x - 8) \frac{10}{2 x^{5} + 3} x^{4} + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

خطوة 3.6.3

اجمع $x^{4}$ و $\frac{10}{2 x^{5} + 3}$ .

$(3 x - 8) \frac{x^{4} \cdot 10}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

خطوة 3.6.4

انقُل $10$ إلى يسار $x^{4}$ .

$(3 x - 8) \frac{10 \cdot x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

خطوة 3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

خطوة 3.8

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

خطوة 3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])$

خطوة 3.10

اضرب $3$ في $1$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 8])$

خطوة 3.11

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) (3 + 0)$

خطوة 3.12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

أضف $3$ و $0$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) \cdot 3$

خطوة 3.12.2

انقُل $3$ إلى يسار $\ln (2 x^{5} + 3)$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + 3 \ln (2 x^{5} + 3)$