حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 \cos (x) \sin (y) = 1$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (4 \cos (x) \sin (y)) = \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 \cos (x) \sin (y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = \sin (y)$ .

$4 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$4 (\cos (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 2.3.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$4 (\cos (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$4 (\cos (x) (\cos (y) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 (\cos (x) \cos (y) y' + \sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 2.5

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$4 (\cos (x) \cos (y) y' + \sin (y) (- \sin (x)))$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (\cos (x) \cos (y) y') + 4 (\sin (y) (- \sin (x)))$

خطوة 2.6.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$4 \cos (x) \cos (y) y' - 4 \sin (y) \sin (x)$

خطوة 2.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$4 \cos (x) \cos (y) y' - 4 \sin (x) \sin (y)$

خطوة 3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$4 \cos (x) \cos (y) y' - 4 \sin (x) \sin (y) = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $4 \cos (x) \cos (y) y' - 4 \sin (x) \sin (y)$ .

$4 y' \cos (x) \cos (y) - 4 \sin (x) \sin (y) = 0$

خطوة 5.2

أضف $4 \sin (x) \sin (y)$ إلى كلا المتعادلين.

$4 y' \cos (x) \cos (y) = 4 \sin (x) \sin (y)$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $4 y' \cos (x) \cos (y) = 4 \sin (x) \sin (y)$ على $4 \cos (x) \cos (y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $4 y' \cos (x) \cos (y) = 4 \sin (x) \sin (y)$ على $4 \cos (x) \cos (y)$ .

$\frac{4 y' \cos (x) \cos (y)}{4 \cos (x) \cos (y)} = \frac{4 \sin (x) \sin (y)}{4 \cos (x) \cos (y)}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y' \cos (x) \cos (y)}{4 \cos (x) \cos (y)} = \frac{4 \sin (x) \sin (y)}{4 \cos (x) \cos (y)}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} = \frac{4 \sin (x) \sin (y)}{4 \cos (x) \cos (y)}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} = \frac{4 \sin (x) \sin (y)}{4 \cos (x) \cos (y)}$

خطوة 5.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' \cos (y)}{\cos (y)} = \frac{4 \sin (x) \sin (y)}{4 \cos (x) \cos (y)}$

خطوة 5.3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' \cos (y)}{\cos (y)} = \frac{4 \sin (x) \sin (y)}{4 \cos (x) \cos (y)}$

خطوة 5.3.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{4 \sin (x) \sin (y)}{4 \cos (x) \cos (y)}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{4 \sin (x) \sin (y)}{4 \cos (x) \cos (y)}$

خطوة 5.3.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)}$

خطوة 5.3.3.2

افصِل الكسور.

$y' = \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

خطوة 5.3.3.3

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$y' = \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \tan (x)$

خطوة 5.3.3.4

حوّل من $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ إلى $\tan (y)$ .

$y' = \tan (y) \tan (x)$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \tan (y) \tan (x)$