حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 - x^{2}$ . إذن $d u = - 2 x d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 - x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$0 - 2 x$

خطوة 1.1.4

اطرح $2 x$ من $0$ .

$- 2 x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 2.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

خطوة 2.3

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$\int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 5.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 5.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 5.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 5.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 7.2.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 7.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 7.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 7.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 7.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{1} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 7.2.3.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - x^{2}$ .

$- {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$