حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sin (t) \sqrt{1 + \cos (t)} d t$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 + \cos (t)$ . إذن $d u = - \sin (t) d t$ ، لذا $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 + \cos (t)$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + \cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (t)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \cos (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

خطوة 1.1.3

مشتق $\cos (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \sin (t)$ .

$0 - \sin (t)$

خطوة 1.1.4

اطرح $\sin (t)$ من $0$ .

$- \sin (t)$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int - 1 \sqrt{u} d u$

خطوة 2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \sqrt{u} d u$

خطوة 3

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

خطوة 5

أعِد كتابة $- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ بالصيغة $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + \cos (t)$ .

$- \frac{2}{3} {(1 + \cos (t))}^{\frac{3}{2}} + C$