حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x + y^{2} = 8$ , $x = y$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استبدِل كافة حالات حدوث $x$ بـ $y$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

استبدِل كافة حالات حدوث $x$ في $2 x + y^{2} = 8$ بـ $y$ .

$2 (y) + y^{2} = 8$

$x = y$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اضرب $2$ في $y$ .

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $y$ في $2 y + y^{2} = 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$2 y + y^{2} - 8 = 0$

$x = y$

خطوة 1.2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

لنفترض أن $u = y$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $y$ .

$2 u + u^{2} - 8 = 0$

$x = y$

خطوة 1.2.2.2

حلّل $2 u + u^{2} - 8$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 8$ ومجموعهما $2$ .

$- 2, 4$

$x = y$

خطوة 1.2.2.2.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(u - 2) (u + 4) = 0$

$x = y$

$(u - 2) (u + 4) = 0$

$x = y$

خطوة 1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$(y - 2) (y + 4) = 0$

$x = y$

$(y - 2) (y + 4) = 0$

$x = y$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$y - 2 = 0$

$y + 4 = 0$

$x = y$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة العبارة $y - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عيّن قيمة $y - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$y - 2 = 0$

$x = y$

خطوة 1.2.4.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 2$

$x = y$

$y = 2$

$x = y$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $y + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $y + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$y + 4 = 0$

$x = y$

خطوة 1.2.5.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$y = - 4$

$x = y$

$y = - 4$

$x = y$

خطوة 1.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(y - 2) (y + 4) = 0$ صحيحة.

$y = 2, - 4$

$x = y$

$y = 2, - 4$

$x = y$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $y$ بـ $2$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

استبدِل كافة حالات حدوث $y$ في $x = y$ بـ $2$ .

$x = 2$

$y = 2$

خطوة 1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

خطوة 1.4

استبدِل كافة حالات حدوث $y$ بـ $- 4$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $y$ في $x = y$ بـ $- 4$ .

$x = - 4$

$y = - 4$

خطوة 1.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

احذِف الأقواس.

$x = - 4$

$y = - 4$

$x = - 4$

$y = - 4$

$x = - 4$

$y = - 4$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(2, 2)$

$(- 4, - 4)$

$(2, 2)$

$(- 4, - 4)$

خطوة 2

أوجِد حل $2 x + y^{2} = 8$ بمعلومية $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اطرح $y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$2 x = 8 - y^{2}$

خطوة 2.2

اقسِم كل حد في $2 x = 8 - y^{2}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = 8 - y^{2}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

خطوة 2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

خطوة 2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

خطوة 2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.1

اقسِم $8$ على $2$ .

$x = 4 + \frac{- y^{2}}{2}$

خطوة 2.2.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = 4 - \frac{y^{2}}{2}$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} d y - \int_{- 4}^{2} y d y$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} - (y) d y$

خطوة 4.2

اضرب $- 1$ في $y$ .

$\int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} - y d y$

خطوة 4.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 4}^{2} 4 d y + \int_{- 4}^{2} - \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

خطوة 4.4

طبّق قاعدة الثابت.

$4 y]_{- 4}^{2} + \int_{- 4}^{2} - \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

خطوة 4.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$4 y]_{- 4}^{2} - \int_{- 4}^{2} \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

خطوة 4.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$4 y]_{- 4}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{2} y^{2} d y) + \int_{- 4}^{2} - y d y$

خطوة 4.7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} + \int_{- 4}^{2} - y d y$

خطوة 4.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - \int_{- 4}^{2} y d y$

خطوة 4.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{2})$

خطوة 4.10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

خطوة 4.10.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.1

احسِب قيمة $4 y$ في $2$ وفي $- 4$ .

$(4 \cdot 2) - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

خطوة 4.10.2.2

احسِب قيمة $\frac{1}{3} y^{3}$ في $2$ وفي $- 4$ .

$4 \cdot 2 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

خطوة 4.10.2.3

احسِب قيمة $\frac{y^{2}}{2}$ في $2$ وفي $- 4$ .

$4 \cdot 2 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.4.1

اضرب $4$ في $2$ .

$8 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.2

اضرب $- 4$ في $- 4$ .

$8 + 16 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.3

أضف $8$ و $16$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.5

اجمع $\frac{1}{3}$ و $8$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.6

ارفع $- 4$ إلى القوة $3$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 64) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.7

اضرب $- 64$ في $- 1$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 64 (\frac{1}{3})) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.8

اجمع $64$ و $\frac{1}{3}$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{64}{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{8 + 64}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.10

أضف $8$ و $64$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{72}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.11

احذِف العامل المشترك لـ $72$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.4.11.1

أخرِج العامل $3$ من $72$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.4.11.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 (1)} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{24}{1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.11.2.4

اقسِم $24$ على $1$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot 24 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.12

اضرب $24$ في $- 1$ .

$24 - 24 (\frac{1}{2}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.13

اجمع $- 24$ و $\frac{1}{2}$ .

$24 + \frac{- 24}{2} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.14

احذِف العامل المشترك لـ $- 24$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.4.14.1

أخرِج العامل $2$ من $- 24$ .

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.14.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.4.14.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.14.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.14.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$24 + \frac{- 12}{1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.14.2.4

اقسِم $- 12$ على $1$ .

$24 - 12 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.15

اطرح $12$ من $24$ .

$12 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.16

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$12 - (\frac{4}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.17

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.4.17.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.17.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.4.17.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.17.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.17.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$12 - (\frac{2}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.17.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$12 - (2 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.4.18

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$12 - (2 - \frac{16}{2})$

خطوة 4.10.2.4.19

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.4.19.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2})$

خطوة 4.10.2.4.19.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.4.19.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

خطوة 4.10.2.4.19.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

خطوة 4.10.2.4.19.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$12 - (2 - \frac{8}{1})$

خطوة 4.10.2.4.19.2.4

اقسِم $8$ على $1$ .

$12 - (2 - 1 \cdot 8)$

خطوة 4.10.2.4.20

اضرب $- 1$ في $8$ .

$12 - (2 - 8)$

خطوة 4.10.2.4.21

اطرح $8$ من $2$ .

$12 - - 6$

خطوة 4.10.2.4.22

اضرب $- 1$ في $- 6$ .

$12 + 6$

خطوة 4.10.2.4.23

أضف $12$ و $6$ .

$18$

خطوة 5