حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sin^{3} (x) d x$

خطوة 1

أخرِج عامل $\sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) \sin (x) d x$

خطوة 2

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sin^{2} (x)$ بحيث تصبح $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = \cos (x)$ . إذن $d u = - \sin (x) d x$ ، لذا $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = \cos (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int - 1 + u^{2} d u$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

خطوة 5

طبّق قاعدة الثابت.

$- u + C + \int u^{2} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

خطوة 7

بسّط.

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + C$