حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{1 + 7 x} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 + 7 x$ . إذن $d u = 7 d x$ ، لذا $\frac{1}{7} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 + 7 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 7 x]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 7 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [7 x]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 7 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 7 \cdot 1$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $7$ في $1$ .

$0 + 7$

خطوة 1.1.4

أضف $0$ و $7$ .

$7$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 1 + 7 x$ .

$u_{lower} = 1 + 7 \cdot 0$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $7$ في $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 1 + 7 x$ .

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $7$ في $1$ .

$u_{upper} = 1 + 7$

خطوة 1.5.2

أضف $1$ و $7$ .

$u_{upper} = 8$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} \frac{1}{7} d u$

خطوة 2

اجمع $\sqrt[3]{u}$ و $\frac{1}{7}$ .

$\int_{1}^{8} \frac{\sqrt[3]{u}}{7} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{7}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{7}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{7} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

خطوة 4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{7} \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{7} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ في $8$ وفي $1$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.2.4

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.2.5

اجمع $\frac{3}{4}$ و $16$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.2.6

اضرب $3$ في $16$ .

$\frac{1}{7} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $48$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.1

أخرِج العامل $4$ من $48$ .

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{7} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.2.7.2.4

اقسِم $12$ على $1$ .

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.2.8

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1)$

خطوة 6.2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4})$

خطوة 6.2.10

لكتابة $12$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{7} (12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4})$

خطوة 6.2.11

اجمع $12$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4})$

خطوة 6.2.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{12 \cdot 4 - 3}{4}$

خطوة 6.2.13

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.13.1

اضرب $12$ في $4$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{48 - 3}{4}$

خطوة 6.2.13.2

اطرح $3$ من $48$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$

خطوة 6.2.14

اضرب $\frac{1}{7}$ في $\frac{45}{4}$ .

$\frac{45}{7 \cdot 4}$

خطوة 6.2.15

اضرب $7$ في $4$ .

$\frac{45}{28}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{45}{28}$

الصيغة العشرية:

$1.60714285 \dots$

صيغة العدد الذي به كسر:

$1 \frac{17}{28}$

خطوة 8