حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sin^{2} (x)$ on $[0, π]$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.1.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.1.1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

خطوة 1.1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

أعِد ترتيب عوامل $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 1.1.1.3.2

أعِد ترتيب $2 \cos (x)$ و $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

خطوة 1.1.1.3.3

أعِد ترتيب $\sin (x)$ و $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

خطوة 1.1.1.3.4

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$f' (x) = \sin (2 x)$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x)$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\sin (2 x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

خطوة 1.2.2

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$2 x = \arcsin (0)$

خطوة 1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$2 x = 0$

خطوة 1.2.4

اقسِم كل حد في $2 x = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

اقسِم كل حد في $2 x = 0$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

خطوة 1.2.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$x = 0$

خطوة 1.2.5

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$2 x = π - 0$

خطوة 1.2.6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$2 x = π + 0$

خطوة 1.2.6.1.2

أضف $π$ و $0$ .

$2 x = π$

خطوة 1.2.6.2

اقسِم كل حد في $2 x = π$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = π$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.6.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.6.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.7

أوجِد فترة $\sin (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 1.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

خطوة 1.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 1.2.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 1.2.7.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 1.2.8

فترة دالة $\sin (2 x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.2.9

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\sin^{2} (x)$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$\sin^{2} (0)$

خطوة 1.4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$0^{2}$

خطوة 1.4.1.2.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0$

خطوة 1.4.2

احسِب القيمة في $x = \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{π}{2}$ .

$\sin^{2} (\frac{π}{2})$

خطوة 1.4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$1^{2}$

خطوة 1.4.2.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1$

خطوة 1.4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(0 + π n, 0), (\frac{π}{2} + π n, 1)$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2

استبعِد النقاط غير الموجودة في الفترة.

$(\frac{π}{2}, 1)$

خطوة 3

استخدِم اختبار المشتق الأول لتحديد النقاط التي يمكن أن تمثل نقاطًا قصوى أو دنيا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π) \cup (π, \infty)$

خطوة 3.2

عوّض بأي عدد، مثل $- 2$ ، من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الأول $\sin (2 x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f' (- 2) = \sin (2 (- 2))$

خطوة 3.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f' (- 2) = \sin (- 4)$

خطوة 3.2.2.2

احسِب قيمة $\sin (- 4)$ .

$f' (- 2) = 0.75680249$

خطوة 3.2.2.3

الإجابة النهائية هي $0.75680249$ .

$0.75680249$

خطوة 3.3

عوّض بأي عدد، مثل $1$ ، من الفترة $(0, \frac{π}{2})$ في المشتق الأول $\sin (2 x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = \sin (2 (1))$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب $2$ في $1$ .

$f' (1) = \sin (2)$

خطوة 3.3.2.2

احسِب قيمة $\sin (2)$ .

$f' (1) = 0.90929742$

خطوة 3.3.2.3

الإجابة النهائية هي $0.90929742$ .

$0.90929742$

خطوة 3.4

عوّض بأي عدد، مثل $2$ ، من الفترة $(\frac{π}{2}, π)$ في المشتق الأول $\sin (2 x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = \sin (2 (2))$

خطوة 3.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اضرب $2$ في $2$ .

$f' (2) = \sin (4)$

خطوة 3.4.2.2

احسِب قيمة $\sin (4)$ .

$f' (2) = - 0.75680249$

خطوة 3.4.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.75680249$ .

$- 0.75680249$

خطوة 3.5

عوّض بأي عدد، مثل $6$ ، من الفترة $(π, \infty)$ في المشتق الأول $\sin (2 x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f' (6) = \sin (2 (6))$

خطوة 3.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اضرب $2$ في $6$ .

$f' (6) = \sin (12)$

خطوة 3.5.2.2

احسِب قيمة $\sin (12)$ .

$f' (6) = - 0.53657291$

خطوة 3.5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.53657291$ .

$- 0.53657291$

خطوة 3.6

بما أن علامة المشتق الأول لم تتغيّر حول $x = 0$ ، إذن هذه النقطة لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا.

لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا

خطوة 3.7

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = \frac{π}{2}$ ، إذن $x = \frac{π}{2}$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = \frac{π}{2}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 3.8

بما أن علامة المشتق الأول لم تتغيّر حول $x = π$ ، إذن هذه النقطة لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا.

لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا

خطوة 3.9

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \sin^{2} (x)$ .

$x = \frac{π}{2}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 4

قارن قيم $f (x)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $x$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $f (x)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $f (x)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(\frac{π}{2}, 1)$

لا توجد نقطة دنيا مطلقة

خطوة 5