حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (t) = \frac{t^{2}}{t^{2} + 3}$ , $[- 1, 1]$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = t^{2}$ و $g (t) = t^{2} + 3$ .

$\frac{(t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} + 3) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $t^{2} + 3$ .

$\frac{2 \cdot (t^{2} + 3) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{2} + 3$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (2 t + 0)}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.6.1

أضف $2 t$ و $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (2 t)}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 t^{2} t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 (t^{1} t^{2})}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 t^{1 + 2}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.5

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 t^{2} + 2 \cdot 3) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 t^{2} t + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.6.3.1.1

اضرب $t^{2}$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.6.3.1.1.1

انقُل $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t^{2}) + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.6.3.1.1.2

اضرب $t$ في $t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.6.3.1.1.2.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (t^{1} t^{2}) + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.6.3.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 t^{1 + 2} + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.6.3.1.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.6.3.1.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{2 t^{3} + 6 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.6.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 t^{3} + 6 t - 2 t^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.6.3.2.1

اطرح $2 t^{3}$ من $2 t^{3}$ .

$\frac{6 t + 0}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.6.3.2.2

أضف $6 t$ و $0$ .

$f' (t) = \frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $g (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}} = 0$

خطوة 1.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$6 t = 0$

خطوة 1.2.3

اقسِم كل حد في $6 t = 0$ على $6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اقسِم كل حد في $6 t = 0$ على $6$ .

$\frac{6 t}{6} = \frac{0}{6}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 t}{6} = \frac{0}{6}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

اقسِم $t$ على $1$ .

$t = \frac{0}{6}$

خطوة 1.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

اقسِم $0$ على $6$ .

$t = 0$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{t^{2}}{t^{2} + 3}$ عند كل قيمة $t$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $t = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $t$ التي تساوي $0$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{{(0)}^{2} + 3}$

خطوة 1.4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{0^{2} + 3}$

خطوة 1.4.1.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{0 + 3}$

خطوة 1.4.1.2.2.2

أضف $0$ و $3$ .

$\frac{0}{3}$

خطوة 1.4.1.2.3

اقسِم $0$ على $3$ .

$0$

خطوة 1.4.2

اسرِد جميع النقاط.

$(0, 0)$

خطوة 2

احسِب القيمة عند نقاط النهاية المُضمّنة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب القيمة في $t = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

عوّض بقيمة $t$ التي تساوي $- 1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2} + 3}$

خطوة 2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{{(- 1)}^{2} + 3}$

خطوة 2.1.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{1 + 3}$

خطوة 2.1.2.2.2

أضف $1$ و $3$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 2.2

احسِب القيمة في $t = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عوّض بقيمة $t$ التي تساوي $1$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{{(1)}^{2} + 3}$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{1^{2} + 3}$

خطوة 2.2.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{1 + 3}$

خطوة 2.2.2.2.2

أضف $1$ و $3$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 2.3

اسرِد جميع النقاط.

$(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$

خطوة 3

قارن قيم $g (t)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $t$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $g (t)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $g (t)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$

الحد الأدنى المطلق: $(0, 0)$

خطوة 4