حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ , $[0, 4 π]$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \frac{x}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

خطوة 1.1.1.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

خطوة 1.1.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.1.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

خطوة 1.1.1.2.4

اضرب $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$

خطوة 1.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.3.3

بما أن العبارة في كل متعادل لها نفس القاسم، إذن يجب أن يكون البسطان متساويين.

$x = π$

خطوة 1.2.3.4

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.3.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.5.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 1.2.3.5.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.5.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 1.2.3.5.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 1.2.3.5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.5.2.2.1

بسّط $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.5.2.2.1.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 1.2.3.5.2.2.1.2

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 1.2.3.5.2.2.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 1.2.3.5.2.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.5.2.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 1.2.3.5.2.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

خطوة 1.2.3.5.2.2.1.5

اضرب $2$ في $2$ .

$x = 4 π - π$

خطوة 1.2.3.5.2.2.1.6

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = 3 π$

خطوة 1.2.3.6

أوجِد فترة $\cos (\frac{x}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 1.2.3.6.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{1}{2}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

خطوة 1.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ تساوي تقريبًا $0.5$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.2.3.6.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \cdot 2$

خطوة 1.2.3.6.5

اضرب $2$ في $2$ .

$4 π$

خطوة 1.2.3.7

فترة دالة $\cos (\frac{x}{2})$ هي $4 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $4 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.2.4

وحّد الإجابات.

$x = π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\sin (\frac{x}{2})$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $x = π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $π$ .

$\sin (\frac{π}{2})$

خطوة 1.4.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$1$

خطوة 1.4.2

احسِب القيمة في $x = 3 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $3 π$ .

$\sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 1.4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$- \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 1.4.2.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 1.4.2.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 1.4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(π + 4 π n, 1), (3 π + 4 π n, - 1)$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2

استبعِد النقاط غير الموجودة في الفترة.

$(π, 1), (3 π, - 1)$

خطوة 3

احسِب القيمة عند نقاط النهاية المُضمّنة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$\sin (\frac{0}{2})$

خطوة 3.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$\sin (0)$

خطوة 3.1.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$0$

خطوة 3.2

احسِب القيمة في $x = 4 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $4 π$ .

$\sin (\frac{4 π}{2})$

خطوة 3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4 π$ .

$\sin (\frac{2 (2 π)}{2})$

خطوة 3.2.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\sin (\frac{2 (2 π)}{2 (1)})$

خطوة 3.2.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1})$

خطوة 3.2.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (\frac{2 π}{1})$

خطوة 3.2.2.1.2.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$\sin (2 π)$

خطوة 3.2.2.2

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\sin (0)$

خطوة 3.2.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$0$

خطوة 3.3

اسرِد جميع النقاط.

$(0, 0), (4 π, 0)$

خطوة 4

قارن قيم $f (x)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $x$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $f (x)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $f (x)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(π, 1)$

الحد الأدنى المطلق: $(3 π, - 1)$

خطوة 5