حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.2

اضرب $x^{2} + 1$ في $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.7

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.6

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.7

أضف $- 2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.4.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.4.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.5.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.4.5.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.4.5.3

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.2

أعِد كتابة ${(x^{2} + 1)}^{2}$ بالصيغة $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.3

وسّع $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.4.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.4.1.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.4.1.1.2

أضف $2$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.4.1.2

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.4.1.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.4.1.4

اضرب $1$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.4.2

أضف $x^{2}$ و $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.6.1

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.6.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.8.1

اضرب $x^{4}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.8.1.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.8.1.2

اضرب $x$ في $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.8.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.8.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.8.1.3

أضف $1$ و $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.8.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.8.2.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.8.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.8.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.8.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.8.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.9.1

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.9.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.10

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.10.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.10.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.10.1.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.10.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2 + 1} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.10.1.2

أضف $2$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.10.2

اضرب $x$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.11

وسّع $(4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} (x^{3} + x) - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.11.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.12

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.12.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.12.1.1.1

انقُل $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.12.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.12.1.1.3

أضف $3$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.12.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.12.1.2.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.12.1.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.12.1.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.12.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{1 + 2} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.12.1.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.12.2

اطرح $4 x^{3}$ من $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 0 - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.1.12.3

أضف $4 x^{5}$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.2

أضف $- 2 x^{5}$ و $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3.3

اطرح $4 x$ من $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1.1

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.4.1.2

أخرِج العامل $2 x$ من $- 4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.4.1.3

أخرِج العامل $2 x$ من $- 6 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.4.1.4

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.4.1.5

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.4.2

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.4.3

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 2 u - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.4.4

حلّل $u^{2} - 2 u - 3$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.4.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 3$ ومجموعهما $- 2$ .

$- 3, 1$

خطوة 2.5.4.4.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 3) (u + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.4.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.5

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2} + 1$ و ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.1

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من $2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.2.1

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.5.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $x^{2} + 1$ في $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.7

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

خطوة 5.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$- x^{2} + 1 = 0$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- x^{2} = - 1$

خطوة 5.3.2

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 5.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 5.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$x^{2} = 1$

خطوة 5.3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{1}$

خطوة 5.3.4

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm 1$

خطوة 5.3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 1$

خطوة 5.3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 1$

خطوة 5.3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 1, - 1$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 1, - 1$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 1$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{2 (1) ({(1)}^{2} - 3)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{2 (1^{2} - 3)}{{(1^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 9.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{2 (1^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

خطوة 9.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2 (1^{2} - 3)}{2^{3}}$

خطوة 9.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{2 (1^{2} - 3)}{8}$

خطوة 9.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{2 (1 - 3)}{8}$

خطوة 9.3.2

اطرح $3$ من $1$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{8}$

خطوة 9.4

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{- 4}{8}$

خطوة 9.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{8}$

خطوة 9.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

خطوة 9.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

خطوة 9.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{2}$

خطوة 9.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2}$

خطوة 10

$x = 1$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 1$ هي حد أقصى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = \frac{1}{{(1)}^{2} + 1}$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = \frac{1}{1 + 1}$

خطوة 11.2.1.2

أضف $1$ و $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2}$

خطوة 11.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - 1$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{2 (- 1) ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 13.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

خطوة 13.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{2^{3}}$

خطوة 13.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{8}$

خطوة 13.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{- 2 (1 - 3)}{8}$

خطوة 13.3.2

اطرح $3$ من $1$ .

$\frac{- 2 \cdot - 2}{8}$

خطوة 13.4

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$\frac{4}{8}$

خطوة 13.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{4 (1)}{8}$

خطوة 13.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

خطوة 13.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

خطوة 13.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2}$

خطوة 14

$x = - 1$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - 1$ هي حد أدنى محلي

خطوة 15

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = \frac{- 1}{{(- 1)}^{2} + 1}$

خطوة 15.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{1 + 1}$

خطوة 15.2.1.2

أضف $1$ و $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{2}$

خطوة 15.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- 1) = - \frac{1}{2}$

خطوة 15.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

خطوة 16

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ .

$(1, \frac{1}{2})$ هي نقطة قصوى محلية

$(- 1, - \frac{1}{2})$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 17