حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x + 3}{x - 5}$ , $(4, - 7)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 4$ و $y = - 7$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x + 3$ و $g (x) = x - 5$ .

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x - 5) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(x - 5) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.4.2

اضرب $x - 5$ في $1$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.7

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.8.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3)}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x - 5 - x - 1 \cdot 3}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 5 - x - 1 \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1.1

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{0 - 5 - 1 \cdot 3}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.2.1.2

اطرح $5$ من $0$ .

$\frac{- 5 - 1 \cdot 3}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.2.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{- 5 - 3}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.2.3

اطرح $3$ من $- 5$ .

$\frac{- 8}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{8}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.4

احسِب قيمة المشتق في $x = 4$ .

$- \frac{8}{{((4) - 5)}^{2}}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

اطرح $5$ من $4$ .

$- \frac{8}{{(- 1)}^{2}}$

خطوة 1.5.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{8}{1}$

خطوة 1.5.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اقسِم $8$ على $1$ .

$- 1 \cdot 8$

خطوة 1.5.2.2

اضرب $- 1$ في $8$ .

$- 8$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- 8$ ونقطة مُعطاة $(4, - 7)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 7) = - 8 \cdot (x - (4))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + 7 = - 8 \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- 8 \cdot (x - 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y + 7 = 0 + 0 - 8 \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y + 7 = - 8 \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y + 7 = - 8 x - 8 \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $- 8$ في $- 4$ .

$y + 7 = - 8 x + 32$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اطرح $7$ من كلا المتعادلين.

$y = - 8 x + 32 - 7$

خطوة 2.3.2.2

اطرح $7$ من $32$ .

$y = - 8 x + 25$

خطوة 3