حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - \frac{3}{2} x^{2} + 4 x + 4$ ; $(- 1, - \frac{3}{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = - 1$ و $y = - \frac{3}{2}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{3}{2} x^{2} + 4 x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- \frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{3}{2} x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.2.4

اجمع $- 2$ و $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.2.5

اضرب $- 2$ في $3$ .

$\frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.2.6

اجمع $\frac{- 6}{2}$ و $x$ .

$\frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

أخرِج العامل $2$ من $- 6 x$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.2.7.2.4

اقسِم $- 3 x$ على $1$ .

$- 3 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 3 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.3.3

اضرب $4$ في $1$ .

$- 3 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 3 x + 4 + 0$

خطوة 1.4.2

أضف $- 3 x + 4$ و $0$ .

$- 3 x + 4$

خطوة 1.5

احسِب قيمة المشتق في $x = - 1$ .

$- 3 \cdot - 1 + 4$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$3 + 4$

خطوة 1.6.2

أضف $3$ و $4$ .

$7$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $7$ ونقطة مُعطاة $(- 1, - \frac{3}{2})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{3}{2}) = 7 \cdot (x - (- 1))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + \frac{3}{2} = 7 \cdot (x + 1)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $7 \cdot (x + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y + \frac{3}{2} = 0 + 0 + 7 \cdot (x + 1)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y + \frac{3}{2} = 7 \cdot (x + 1)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y + \frac{3}{2} = 7 x + 7 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $7$ في $1$ .

$y + \frac{3}{2} = 7 x + 7$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اطرح $\frac{3}{2}$ من كلا المتعادلين.

$y = 7 x + 7 - \frac{3}{2}$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $7$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = 7 x + 7 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $7$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = 7 x + \frac{7 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = 7 x + \frac{7 \cdot 2 - 3}{2}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $7$ في $2$ .

$y = 7 x + \frac{14 - 3}{2}$

خطوة 2.3.2.5.2

اطرح $3$ من $14$ .

$y = 7 x + \frac{11}{2}$

خطوة 3