حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} + y^{3} = 36 x y$ ; $(18, 18)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 18$ و $y = 18$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (36 x y)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

خطوة 1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $36 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $36 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$36 \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$36 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$36 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$36 (x y' + y \cdot 1)$

خطوة 1.3.5

اضرب $y$ في $1$ .

$36 (x y' + y)$

خطوة 1.3.6

طبّق خاصية التوزيع.

$36 x y' + 36 y$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 36 x y' + 36 y$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اطرح $36 x y'$ من كلا المتعادلين.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 36 x y' = 36 y$

خطوة 1.5.2

اطرح $3 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$3 y^{2} y' - 36 x y' = 36 y - 3 x^{2}$

خطوة 1.5.3

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 y^{2} y' - 36 x y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 36 x y' = 36 y - 3 x^{2}$

خطوة 1.5.3.2

أخرِج العامل $3 y'$ من $- 36 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 12 x) = 36 y - 3 x^{2}$

خطوة 1.5.3.3

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 y' y^{2} + 3 y' (- 12 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 12 x) = 36 y - 3 x^{2}$

خطوة 1.5.4

اقسِم كل حد في $3 y' (y^{2} - 12 x) = 36 y - 3 x^{2}$ على $3 (y^{2} - 12 x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

اقسِم كل حد في $3 y' (y^{2} - 12 x) = 36 y - 3 x^{2}$ على $3 (y^{2} - 12 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 12 x)}{3 (y^{2} - 12 x)} = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y' (y^{2} - 12 x)}{3 (y^{2} - 12 x)} = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (y^{2} - 12 x)}{y^{2} - 12 x} = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

خطوة 1.5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} - 12 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (y^{2} - 12 x)}{y^{2} - 12 x} = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

خطوة 1.5.4.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

خطوة 1.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $36$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $36 y$ .

$y' = \frac{3 (12 y)}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

خطوة 1.5.4.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{3 (12 y)}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

خطوة 1.5.4.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

خطوة 1.5.4.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 12 x)}$

خطوة 1.5.4.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 12 x)}$

خطوة 1.5.4.3.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - 12 x}$

خطوة 1.5.4.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - 12 x}$

خطوة 1.5.4.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{12 y - x^{2}}{y^{2} - 12 x}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 y - x^{2}}{y^{2} - 12 x}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 18$ و $y = 18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $18$ في العبارة.

$\frac{12 y - {(18)}^{2}}{y^{2} - 12 \cdot 18}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $18$ في العبارة.

$\frac{12 (18) - {(18)}^{2}}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

خطوة 1.7.3

احذِف العامل المشترك لـ $12 (18) - {(18)}^{2}$ و ${(18)}^{2} - 12 \cdot 18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- {(18)}^{2} + 12 \cdot 18}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

خطوة 1.7.3.2

أخرِج العامل $18$ من $- {(18)}^{2}$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18) + 12 \cdot 18}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

خطوة 1.7.3.3

أخرِج العامل $18$ من $12 \cdot 18$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18) + 18 \cdot 12}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

خطوة 1.7.3.4

أخرِج العامل $18$ من $18 (- 1 \cdot 18) + 18 \cdot 12$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

خطوة 1.7.3.5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.5.1

أخرِج العامل $18$ من ${(18)}^{2}$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{18 \cdot 18 - 12 \cdot 18}$

خطوة 1.7.3.5.2

أخرِج العامل $18$ من $- 12 \cdot 18$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{18 \cdot 18 + 18 \cdot - 12}$

خطوة 1.7.3.5.3

أخرِج العامل $18$ من $18 \cdot 18 + 18 \cdot - 12$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{18 \cdot (18 - 12)}$

خطوة 1.7.3.5.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{18 \cdot (18 - 12)}$

خطوة 1.7.3.5.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1 \cdot 18 + 12}{18 - 12}$

خطوة 1.7.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 1 \cdot 18 + 12$ و $18 - 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

أخرِج العامل $6$ من $- 1 \cdot 18$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3) + 12}{18 - 12}$

خطوة 1.7.4.2

أخرِج العامل $6$ من $12$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3) + 6 (2)}{18 - 12}$

خطوة 1.7.4.3

أخرِج العامل $6$ من $6 (- 1 \cdot 3) + 6 (2)$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{18 - 12}$

خطوة 1.7.4.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.4.1

أخرِج العامل $6$ من $18$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{6 (3) - 12}$

خطوة 1.7.4.4.2

أخرِج العامل $6$ من $- 12$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{6 \cdot 3 + 6 \cdot - 2}$

خطوة 1.7.4.4.3

أخرِج العامل $6$ من $6 \cdot 3 + 6 \cdot - 2$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{6 \cdot (3 - 2)}$

خطوة 1.7.4.4.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{6 \cdot (3 - 2)}$

خطوة 1.7.4.4.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 2}{3 - 2}$

خطوة 1.7.5

احذِف العامل المشترك لـ $- 1 \cdot 3 + 2$ و $3 - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 \cdot 3$ .

$\frac{- 1 (3) + 2}{3 - 2}$

خطوة 1.7.5.2

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (3) - 1 (- 2)}{3 - 2}$

خطوة 1.7.5.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (3) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (3 - 2)}{3 - 2}$

خطوة 1.7.5.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1 (3 - 2)}{3 - 2}$

خطوة 1.7.5.5

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- 1$ ونقطة مُعطاة $(18, 18)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (18) = - 1 \cdot (x - (18))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 18 = - 1 \cdot (x - 18)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- 1 \cdot (x - 18)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 18 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 18)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 18 = - 1 \cdot (x - 18)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 18 = - 1 x - 1 \cdot - 18$

خطوة 2.3.1.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.4.1

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y - 18 = - x - 1 \cdot - 18$

خطوة 2.3.1.4.2

اضرب $- 1$ في $- 18$ .

$y - 18 = - x + 18$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $18$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - x + 18 + 18$

خطوة 2.3.2.2

أضف $18$ و $18$ .

$y = - x + 36$

خطوة 3