حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ ; $x = 2$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ المقابلة لـ $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $2$ عن $x$ .

$y = \frac{1}{{({(2)}^{2} - 1)}^{3}}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

احذِف الأقواس.

$y = \frac{1}{{(2^{2} - 1)}^{3}}$

خطوة 1.2.2

احذِف الأقواس.

$y = \frac{1}{{({(2)}^{2} - 1)}^{3}}$

خطوة 1.2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{1}{{(4 - 1)}^{3}}$

خطوة 1.2.3.2

اطرح $1$ من $4$ .

$y = \frac{1}{3^{3}}$

خطوة 1.2.3.3

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$y = \frac{1}{27}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = \frac{1}{27}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ بالصيغة ${({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}]$

خطوة 2.1.2

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3 \cdot - 1}]$

خطوة 2.1.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{- 3}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 3}$ و $g (x) = x^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 3$ .

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 1$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x + 0)$

خطوة 2.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x)$

خطوة 2.3.4.2

اضرب $2$ في $- 3$ .

$- 6 {(x^{2} - 1)}^{- 4} x$

خطوة 2.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

خطوة 2.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اجمع $- 6$ و $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$ .

$\frac{- 6}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

خطوة 2.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{6}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

خطوة 2.5.3

اجمع $x$ و $\frac{6}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$ .

$- \frac{x \cdot 6}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.4

انقُل $6$ إلى يسار $x$ .

$- \frac{6 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.6

احسِب قيمة المشتق في $x = 2$ .

$- \frac{6 (2)}{{({(2)}^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

اضرب $6$ في $2$ .

$- \frac{12}{{(2^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 2.7.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{12}{{(4 - 1)}^{4}}$

خطوة 2.7.2.2

اطرح $1$ من $4$ .

$- \frac{12}{3^{4}}$

خطوة 2.7.2.3

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$- \frac{12}{81}$

خطوة 2.7.3

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $81$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.1

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$- \frac{3 (4)}{81}$

خطوة 2.7.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $81$ .

$- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

خطوة 2.7.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

خطوة 2.7.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{4}{27}$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $- \frac{4}{27}$ ونقطة مُعطاة $(2, \frac{1}{27})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{27}) = - \frac{4}{27} \cdot (x - (2))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $- \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - \frac{1}{27} = 0 + 0 - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

خطوة 3.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} x - \frac{4}{27} \cdot - 2$

خطوة 3.3.1.4

اجمع $x$ و $\frac{4}{27}$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} - \frac{4}{27} \cdot - 2$

خطوة 3.3.1.5

اضرب $- \frac{4}{27} \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + 2 (\frac{4}{27})$

خطوة 3.3.1.5.2

اجمع $2$ و $\frac{4}{27}$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + \frac{2 \cdot 4}{27}$

خطوة 3.3.1.5.3

اضرب $2$ في $4$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + \frac{8}{27}$

خطوة 3.3.1.6

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4 x}{27} + \frac{8}{27}$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أضف $\frac{1}{27}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{8}{27} + \frac{1}{27}$

خطوة 3.3.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{- 4 x + 8 + 1}{27}$

خطوة 3.3.2.3

أضف $8$ و $1$ .

$y = \frac{- 4 x + 9}{27}$

خطوة 3.3.2.4

قسّم الكسر $\frac{- 4 x + 9}{27}$ إلى كسرين.

$y = \frac{- 4 x}{27} + \frac{9}{27}$

خطوة 3.3.2.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9}{27}$

خطوة 3.3.2.5.2

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.2.1

أخرِج العامل $9$ من $9$ .

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 (1)}{27}$

خطوة 3.3.2.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.2.2.1

أخرِج العامل $9$ من $27$ .

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

خطوة 3.3.2.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

خطوة 3.3.2.5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{1}{3}$

خطوة 3.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{4}{27} x) + \frac{1}{3}$

خطوة 3.3.3.2

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{4}{27} x + \frac{1}{3}$

خطوة 4