حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{2} x \ln (x^{4})$ , $(- 1, 0)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = - 1$ و $y = 0$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} \cdot \ln (x^{4})]$

خطوة 1.1.2

اجمع $\frac{x}{2}$ و $\ln (x^{4})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x^{4})}{2}]$

خطوة 1.1.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x \ln (x^{4})}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (x^{4})$ .

$\frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اجمع $\frac{1}{x^{4}}$ و $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{1}}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.2.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x^{3}} (4 x^{3}) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{x^{3}} x^{3} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.4.2

اجمع $\frac{4}{x^{3}}$ و $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.4.3.2

اقسِم $4$ على $1$ .

$\frac{1}{2} (4 + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (4 + \ln (x^{4}) \cdot 1)$

خطوة 1.4.6

اضرب $\ln (x^{4})$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (4 + \ln (x^{4}))$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} \cdot 4 + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

خطوة 1.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$\frac{4}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

خطوة 1.5.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

خطوة 1.5.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

خطوة 1.5.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

خطوة 1.5.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{1} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

خطوة 1.5.2.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

خطوة 1.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} \ln (x^{4}) + 2$

خطوة 1.5.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (x^{4})$ .

$\frac{\ln (x^{4})}{2} + 2$

خطوة 1.5.4.2

وسّع $\ln (x^{4})$ بنقل $4$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{4 \ln (x)}{2} + 2$

خطوة 1.5.4.3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4 \ln (x)$ .

$\frac{2 (2 \ln (x))}{2} + 2$

خطوة 1.5.4.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (2 \ln (x))}{2 (1)} + 2$

خطوة 1.5.4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (2 \ln (x))}{2 \cdot 1} + 2$

خطوة 1.5.4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \ln (x)}{1} + 2$

خطوة 1.5.4.3.2.4

اقسِم $2 \ln (x)$ على $1$ .

$2 \ln (x) + 2$

خطوة 1.6

احسِب قيمة المشتق في $x = - 1$ .

$2 \ln (- 1) + 2$

خطوة 1.7

اللوغاريتم الطبيعي لعدد سالب يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 2

ميل الخط المستقيم يساوي قيمة غير معرّفة، ما يعني أنه عمودي على المحور السيني عند $x = - 1$ .

$x = - 1$

خطوة 3