حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = (x - 2) (x^{2} + 4)$ , $(1, - 5)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = - 5$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x - 2$ و $g (x) = x^{2} + 4$ .

$(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x - 2]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x - 2]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x - 2]$

خطوة 1.2.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x - 2) (2 x + 0) + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x - 2]$

خطوة 1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$(x - 2) (2 x) + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x - 2]$

خطوة 1.2.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $x - 2$ .

$2 \cdot (x - 2) x + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x - 2]$

خطوة 1.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 (x - 2) x + (x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

خطوة 1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (x - 2) x + (x^{2} + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

خطوة 1.2.7

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 (x - 2) x + (x^{2} + 4) (1 + 0)$

خطوة 1.2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$2 (x - 2) x + (x^{2} + 4) \cdot 1$

خطوة 1.2.8.2

اضرب $x^{2} + 4$ في $1$ .

$2 (x - 2) x + x^{2} + 4$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(2 x + 2 \cdot - 2) x + x^{2} + 4$

خطوة 1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 4$

خطوة 1.3.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 4$

خطوة 1.3.3.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 4$

خطوة 1.3.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 4$

خطوة 1.3.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 4$

خطوة 1.3.3.5

اضرب $2$ في $- 2$ .

$2 x^{2} - 4 x + x^{2} + 4$

خطوة 1.3.3.6

أضف $2 x^{2}$ و $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 4 x + 4$

خطوة 1.4

احسِب قيمة المشتق في $x = 1$ .

$3 {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 4$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$3 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 4$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $3$ في $1$ .

$3 - 4 \cdot 1 + 4$

خطوة 1.5.1.3

اضرب $- 4$ في $1$ .

$3 - 4 + 4$

خطوة 1.5.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اطرح $4$ من $3$ .

$- 1 + 4$

خطوة 1.5.2.2

أضف $- 1$ و $4$ .

$3$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $3$ ونقطة مُعطاة $(1, - 5)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 5) = 3 \cdot (x - (1))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + 5 = 3 \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $3 \cdot (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y + 5 = 0 + 0 + 3 \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y + 5 = 3 \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y + 5 = 3 x + 3 \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $3$ في $- 1$ .

$y + 5 = 3 x - 3$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$y = 3 x - 3 - 5$

خطوة 2.3.2.2

اطرح $5$ من $- 3$ .

$y = 3 x - 8$

خطوة 3