حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{2 x - 1} \cdot y^{- 2}$

خطوة 1

اكتب $e^{2 x - 1} \cdot y^{- 2}$ في صورة دالة.

$f (x) = e^{2 x - 1} \cdot y^{- 2}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int e^{2 x - 1} \cdot y^{- 2} d x$

خطوة 4

بما أن $y^{- 2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $y^{- 2}$ خارج التكامل.

$y^{- 2} \int e^{2 x - 1} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 2 x - 1$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 2 x - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 5.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 5.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 5.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y^{- 2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 6

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$y^{- 2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$y^{- 2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{- 2}$ .

$\frac{y^{- 2}}{2} \int e^{u} d u$

خطوة 8.2

انقُل $y^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 y^{2}} \int e^{u} d u$

خطوة 9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{2 y^{2}} (e^{u} + C)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط.

$\frac{1}{2 y^{2}} e^{u} + C$

خطوة 10.2

اجمع $\frac{1}{2 y^{2}}$ و $e^{u}$ .

$\frac{e^{u}}{2 y^{2}} + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x - 1$ .

$\frac{e^{2 x - 1}}{2 y^{2}} + C$

خطوة 12

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = e^{2 x - 1} \cdot y^{- 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{e^{2 x - 1}}{2 y^{2}} + C$