حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{3 (1 - \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)} d x$

خطوة 1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int \frac{1 - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = \tan (x)$ . إذن $d u = \sec^{2} (x) d x$ ، لذا $- d u = - \sec^{2} (x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = \tan (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$3 \int \frac{1}{1} (1 - u^{2}) d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \int \frac{1}{1} (1 - u^{2}) d u$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$3 \int 1 (1 - u^{2}) d u$

خطوة 3.2

اضرب $1 - u^{2}$ في $1$ .

$3 \int 1 - u^{2} d u$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$3 (\int d u + \int - u^{2} d u)$

خطوة 5

طبّق قاعدة الثابت.

$3 (u + C + \int - u^{2} d u)$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$3 (u + C - \int u^{2} d u)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

خطوة 8

بسّط.

$3 (u - \frac{1}{3} u^{3}) + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\tan (x)$ .

$3 (\tan (x) - \frac{1}{3} \tan^{3} (x)) + C$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اجمع $\tan^{3} (x)$ و $\frac{1}{3}$ .

$3 (\tan (x) - \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

خطوة 10.2

طبّق خاصية التوزيع.

$3 \tan (x) + 3 (- \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

خطوة 10.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\tan^{3} (x)}{3}$ إلى بسط الكسر.

$3 \tan (x) + 3 \frac{- \tan^{3} (x)}{3} + C$

خطوة 10.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 \tan (x) + 3 \frac{- \tan^{3} (x)}{3} + C$

خطوة 10.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 \tan (x) - \tan^{3} (x) + C$