حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{2}^{\infty} 2 e^{- 2 x - 4} d x$

خطوة 1

اكتب التكامل في صورة نهاية عند اقتراب $t$ من $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} 2 e^{- 2 x - 4} d x$

خطوة 2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{2}^{t} e^{- 2 x - 4} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = - 2 x - 4$ . إذن $d u = - 2 d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = - 2 x - 4$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $- 2 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x - 4]$

خطوة 3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 2 x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 3.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 3.1.3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 3.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 2 + 0$

خطوة 3.1.4.2

أضف $- 2$ و $0$ .

$- 2$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = - 2 x - 4$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 2 - 4$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$u_{lower} = - 4 - 4$

خطوة 3.3.2

اطرح $4$ من $- 4$ .

$u_{lower} = - 8$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = - 2 x - 4$ .

$u_{upper} = - 2 t - 4$

خطوة 3.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 8$

$u_{upper} = - 2 t - 4$

خطوة 3.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 4.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} - \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$lim_{t \to \infty} 2 (- \int_{- 8}^{- 2 t - 4} \frac{e^{u}}{2} d u)$

خطوة 6

اضرب $- 1$ في $2$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$lim_{t \to \infty} - 2 (\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

خطوة 8.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

خطوة 8.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

خطوة 8.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

خطوة 8.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1}{1} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

خطوة 8.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

خطوة 9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{u}]_{- 8}^{- 2 t - 4})$

خطوة 10

احسِب قيمة $e^{u}$ في $- 2 t - 4$ وفي $- 8$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- 2 t - 4} - e^{- 8})$

خطوة 11

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- lim_{t \to \infty} e^{- 2 t - 4} - e^{- 8}$

خطوة 11.1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $\infty$ .

$- (lim_{t \to \infty} e^{- 2 t - 4} - lim_{t \to \infty} e^{- 8})$

خطوة 11.2

بما أن الأُس $- 2 t - 4$ يقترب من $- \infty$ ، إذن الكمية $e^{- 2 t - 4}$ تقترب من $0$ .

$- (0 - lim_{t \to \infty} e^{- 8})$

خطوة 11.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

احسِب قيمة حد $e^{- 8}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $\infty$ .

$- (0 - e^{- 8})$

خطوة 11.3.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (0 - \frac{1}{e^{8}})$

خطوة 11.3.2.2

اطرح $\frac{1}{e^{8}}$ من $0$ .

$- - \frac{1}{e^{8}}$

خطوة 11.3.2.3

اضرب $- - \frac{1}{e^{8}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{1}{e^{8}}$

خطوة 11.3.2.3.2

اضرب $\frac{1}{e^{8}}$ في $1$ .

$\frac{1}{e^{8}}$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{e^{8}}$

الصيغة العشرية:

$0.00033546 \dots$