حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y \sqrt{y^{3} + 1} = x$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y^{3} + 1}$ في صورة ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} = x$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = y$ و $g (x) = {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = y^{3} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y^{3} + 1$ .

$y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y^{3} + 1$ .

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الجمع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.7.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$y (\frac{{(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.7.2.2

انقُل ${(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (\frac{1}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.7.2.3

اجمع $\frac{1}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ و $y$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1] + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.7.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{3} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.8.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.9

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.10

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 y^{2} y' + 0) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.11

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

أضف $3 y^{2} y'$ و $0$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 y^{2} y') + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.11.2

اجمع $3$ و $\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (y^{2} y') + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.11.3

اجمع $y^{2}$ و $\frac{3 y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y^{2} (3 y)}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.12

اضرب $y^{2}$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

انقُل $y$ .

$\frac{y \cdot y^{2} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.12.2

اضرب $y$ في $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y^{1} y^{2} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.12.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{y^{1 + 2} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.12.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{y^{3} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.13

اجمع $\frac{y^{3} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ و $y'$ .

$\frac{y^{3} \cdot 3 y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.14

انقُل $3$ إلى يسار $y^{3}$ .

$\frac{3 \cdot y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.15

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' = 1$

خطوة 6

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}, 1, 1$

خطوة 6.1.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2

اضرب كل حد في $\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' = 1$ في $2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب كل حد في $\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' = 1$ في $2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 y^{3} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y^{3} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$3 y^{3} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.2.1.5

اضرب ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.5.1

انقُل ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 y^{3} y' + 2 ({(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.2.1.5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.2.1.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.2.1.5.4

أضف $1$ و $1$ .

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{2}{2}} y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.2.1.5.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{1} y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.2.1.6

بسّط $2 {(y^{3} + 1)}^{1} y'$ .

$3 y^{3} y' + 2 (y^{3} + 1) y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.2.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y^{3} y' + (2 y^{3} + 2 \cdot 1) y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.2.1.8

اضرب $2$ في $1$ .

$3 y^{3} y' + (2 y^{3} + 2) y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.2.1.9

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y^{3} y' + 2 y^{3} y' + 2 y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.2.2

أضف $3 y^{3} y'$ و $2 y^{3} y'$ .

$5 y^{3} y' + 2 y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اضرب $2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$5 y^{3} y' + 2 y' = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $5 y^{3} y' + 2 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

أخرِج العامل $y'$ من $5 y^{3} y'$ .

$y' (5 y^{3}) + 2 y' = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.1.2

أخرِج العامل $y'$ من $2 y'$ .

$y' (5 y^{3}) + y' \cdot 2 = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.1.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (5 y^{3}) + y' \cdot 2$ .

$y' (5 y^{3} + 2) = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.2

اقسِم كل حد في $y' (5 y^{3} + 2) = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ على $5 y^{3} + 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اقسِم كل حد في $y' (5 y^{3} + 2) = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ على $5 y^{3} + 2$ .

$\frac{y' (5 y^{3} + 2)}{5 y^{3} + 2} = \frac{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5 y^{3} + 2}$

خطوة 6.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5 y^{3} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (5 y^{3} + 2)}{5 y^{3} + 2} = \frac{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5 y^{3} + 2}$

خطوة 6.3.2.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5 y^{3} + 2}$

خطوة 7

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5 y^{3} + 2}$