حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) \cos^{3} (x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \cos (x)$ . إذن $d u = - \sin (x) d x$ ، لذا $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \cos (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

خطوة 1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - 1 u^{3} d u$

خطوة 2

أعِد كتابة $- 1 u^{3}$ بالصيغة $- u^{3}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - u^{3} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} u^{3} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 5

اجمع $\frac{1}{4}$ و $u^{4}$ .

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{u^{4}}{4}$ في $\frac{1}{2}$ وفي $1$ .

$- ((\frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

خطوة 6.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- (\frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4} - \frac{1}{4})$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{4}$

خطوة 7.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\frac{1^{4}}{2^{4}} - 1}{4}$

خطوة 7.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{\frac{1}{2^{4}} - 1}{4}$

خطوة 7.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$- \frac{\frac{1}{16} - 1}{4}$

خطوة 7.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{\frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}}{4}$

خطوة 7.4

اجمع $- 1$ و $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{\frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}}{4}$

خطوة 7.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{\frac{1 - 1 \cdot 16}{16}}{4}$

خطوة 7.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

اضرب $- 1$ في $16$ .

$- \frac{\frac{1 - 16}{16}}{4}$

خطوة 7.6.2

اطرح $16$ من $1$ .

$- \frac{\frac{- 15}{16}}{4}$

خطوة 7.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{- \frac{15}{16}}{4}$

خطوة 7.8

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- (- \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{4})$

خطوة 7.9

اضرب $- \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.9.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{15}{16}$ .

$- - \frac{15}{4 \cdot 16}$

خطوة 7.9.2

اضرب $4$ في $16$ .

$- - \frac{15}{64}$

خطوة 7.10

اضرب $- - \frac{15}{64}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.10.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{15}{64})$

خطوة 7.10.2

اضرب $\frac{15}{64}$ في $1$ .

$\frac{15}{64}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{15}{64}$

الصيغة العشرية:

$0.234375$