حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\infty} 2 x e^{x^{2}} d x$

خطوة 1

اكتب التكامل في صورة نهاية عند اقتراب $t$ من $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} 2 x e^{x^{2}} d x$

خطوة 2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{0}^{t} x e^{x^{2}} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u_{2} = e^{x^{2}}$ . إذن $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u_{2} = e^{x^{2}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

خطوة 3.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

خطوة 3.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = e^{0}$

خطوة 3.3.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

خطوة 3.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

خطوة 3.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{1}^{e^{t^{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u_{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{u_{2}}{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

خطوة 5.2

احسِب قيمة $\frac{u_{2}}{2}$ في $e^{t^{2}}$ وفي $1$ .

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2})$

خطوة 6

بما أن الدالة $\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت الموجب $2$ في الدالة يقترب أيضًا من $\infty$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انظر النهاية ذات المضاعف الثابت $2$ المحذوف.

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}} - 1}{2}$

خطوة 6.2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

خطوة 6.2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

خطوة 6.3

بما أن الأُس $t^{2}$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{t^{2}}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

خطوة 6.4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

خطوة 6.4.2

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{2}$

خطوة 6.4.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.1.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\infty - 1}{2}$

خطوة 6.4.3.1.2

ما لا نهاية زائد أو ناقص أي عدد يساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{2}$

خطوة 6.4.3.2

ناتج قسمة ما لا نهاية على أي قيمة منتهية وغير صفرية يساوي ما لا نهاية.

$\infty$