حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int (5^{5 x + 1} - 15 x^{4}) d x$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$\int 5^{5 x + 1} - 15 x^{4} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 5^{5 x + 1} d x + \int - 15 x^{4} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = 5 x + 1$ . إذن $d u = 5 d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = 5 x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $5 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

خطوة 3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.1.3.3

اضرب $5$ في $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$5 + 0$

خطوة 3.1.4.2

أضف $5$ و $0$ .

$5$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int 5^{u} \cdot \frac{1}{5} d u + \int - 15 x^{4} d x$

خطوة 4

اجمع $5^{u}$ و $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{5^{u}}{5} d u + \int - 15 x^{4} d x$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5} \int 5^{u} d u + \int - 15 x^{4} d x$

خطوة 6

تكامل $5^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) + \int - 15 x^{4} d x$

خطوة 7

بما أن $- 15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 15$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 \int x^{4} d x$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x^{5}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 (\frac{x^{5}}{5} + C)$

خطوة 9.2

بسّط.

$\frac{1 \cdot 5^{u}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اضرب $5^{u}$ في $1$ .

$\frac{5^{u}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

خطوة 9.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $5^{u}$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5^{u}$ .

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

خطوة 9.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5 \ln (5)$ .

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 (\ln (5))} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

خطوة 9.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

خطوة 9.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

خطوة 9.3.3

اجمع $- 15$ و $\frac{x^{5}}{5}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 15 x^{5}}{5} + C$

خطوة 9.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 15$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.4.1

أخرِج العامل $5$ من $- 15 x^{5}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5} + C$

خطوة 9.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.4.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5 (1)} + C$

خطوة 9.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5 \cdot 1} + C$

خطوة 9.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 3 x^{5}}{1} + C$

خطوة 9.3.4.2.4

اقسِم $- 3 x^{5}$ على $1$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 3 x^{5} + C$

خطوة 9.3.5

لكتابة $- 3 x^{5}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{\ln (5)}{\ln (5)}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 3 x^{5} \cdot \frac{\ln (5)}{\ln (5)} + C$

خطوة 9.3.6

اجمع $- 3 x^{5}$ و $\frac{\ln (5)}{\ln (5)}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

خطوة 9.3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{5^{u - 1} - 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x + 1$ .

$\frac{5^{5 x + 1 - 1} - 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

خطوة 11

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{\ln (5)} (5^{5 x + 1 - 1} - 3 x^{5} \ln (5)) + C$