حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x \frac{d y}{d x} - \ln (x^{2}) = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أضف $\ln (x^{2})$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x \frac{d y}{d x} = \ln (x^{2})$

خطوة 1.1.2

اقسِم كل حد في $2 x \frac{d y}{d x} = \ln (x^{2})$ على $2 x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اقسِم كل حد في $2 x \frac{d y}{d x} = \ln (x^{2})$ على $2 x$ .

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

خطوة 1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

خطوة 1.1.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

خطوة 1.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

خطوة 1.1.2.2.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

وسّع $\ln (x^{2})$ بنقل $2$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{2 x}$

خطوة 1.1.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{2 x}$

خطوة 1.1.2.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = \ln (x)$ . إذن $d u = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = \ln (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 2.3.1.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = \int u d u$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\ln (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K$