حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \log (e^{x})) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\sin (y) + y \cos (y)$ .

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x (2 \log (e^{x})) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (y) + y \cos (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{2 x \log (e^{x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

خطوة 1.2.1.2

بسّط $2 \log (e^{x})$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log ({(e^{x})}^{2}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

خطوة 1.2.1.3

اضرب الأُسس في ${(e^{x})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{x \cdot 2}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

خطوة 1.2.1.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{2 x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{2 x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = x \log (e^{2 x}) + 1$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$(\sin (y) + y \cos (y)) d y = (x \log (e^{2 x}) + 1) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \sin (y) + y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \sin (y) d y + \int y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\sin (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} + \int y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

خطوة 2.2.3

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = y$ و $d v = \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} + y \sin (y) - \int \sin (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $\sin (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} + y \sin (y) - (- \cos (y) + C_{2}) = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

بسّط.

$- \cos (y) + y \sin (y) + \cos (y) + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

خطوة 2.2.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.1

أضف $- \cos (y)$ و $\cos (y)$ .

$y \sin (y) + 0 + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

خطوة 2.2.5.2.2

أضف $y \sin (y)$ و $0$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد كتابة $x \log (e^{2 x}) + 1$ بالصيغة $x (2 x \log (e)) + 1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int x (2 x \log (e)) + 1 d x$

خطوة 2.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y \sin (y) + C_{3} = \int x (2 x \log (e)) d x + \int d x$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 (x^{1} x) \log (e) d x + \int d x$

خطوة 2.3.3.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 (x^{1} x^{1}) \log (e) d x + \int d x$

خطوة 2.3.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 x^{1 + 1} \log (e) d x + \int d x$

خطوة 2.3.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 x^{2} \log (e) d x + \int d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $2 \log (e)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2 \log (e)$ خارج التكامل.

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) \int x^{2} d x + \int d x$

خطوة 2.3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int d x$

خطوة 2.3.6

طبّق قاعدة الثابت.

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + x + C_{5}$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + x + C_{5}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{x^{3} \cdot 2 \log (e)}{3} + x + C_{6}$

خطوة 2.3.7.3

انقُل $2$ إلى يسار $x^{3}$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{2 x^{3} \log (e)}{3} + x + C_{6}$

خطوة 2.3.7.4

أعِد ترتيب الحدود.

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{2 \log (e)}{3} x^{3} + x + C_{6}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y \sin (y) = \frac{2 \log (e)}{3} x^{3} + x + K$