حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x \frac{d y}{d x} = x + y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$2 x \frac{d y}{d x} - y = x$

خطوة 1.2

اقسِم كل حد في $2 x \frac{d y}{d x} - y = x$ على $2 x$ .

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

خطوة 1.4.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

خطوة 1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

خطوة 1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{1}{2}$

خطوة 1.6

أخرِج العامل $y$ من $\frac{- y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{2 x} = \frac{1}{2}$

خطوة 1.7

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{- 1}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{2 x} y = \frac{1}{2}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{- 1}{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{- 1}{2 x} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{- 1}{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{\int - \frac{1}{2 x} d x}$

خطوة 2.2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{1}{2 x} d x}$

خطوة 2.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (x)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{- \frac{1}{2}})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.4

اجمع $\frac{1}{2 x}$ و $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y}{2 x} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.5

اضرب $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y}{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

اضرب $\frac{y}{2 x}$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.5.2

اضرب $x$ في $x^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 (x^{\frac{1}{2}} x)} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.5.2.2

اضرب $x^{\frac{1}{2}}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.5.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.5.2.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.5.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.5.2.5

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.3

اجمع.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

خطوة 3.4

اضرب $1$ في $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

خطوة 3.5

انقُل $2$ إلى يسار $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y] = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y] d x = \int \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 7.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

خطوة 7.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

خطوة 7.2.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

خطوة 7.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 7.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 7.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 7.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 7.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 7.4.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = 1 x^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 7.4.2.3

اضرب $x^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = x^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ و $y$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 8.2

اضرب كلا الطرفين في $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$

خطوة 8.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$

خطوة 8.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

بسّط $(x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

خطوة 8.3.2.1.2

اضرب $x^{\frac{1}{2}}$ في $x^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

خطوة 8.3.2.1.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = x^{\frac{1 + 1}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

خطوة 8.3.2.1.2.3

أضف $1$ و $1$ .

$y = x^{\frac{2}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

خطوة 8.3.2.1.2.4

اقسِم $2$ على $2$ .

$y = x^{1} + C x^{\frac{1}{2}}$

خطوة 8.3.2.1.3

بسّط $x^{1}$ .

$y = x + C x^{\frac{1}{2}}$