حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} y}{e^{2 - x^{3}}}$ , $y (0) = 1$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y)$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $y$ من $\frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}})$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}})$

خطوة 1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

خطوة 2.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اعكِس علامة أُس $e^{2 - x^{3}}$ وأخرِجها من القاسم.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} {(e^{2 - x^{3}})}^{- 1} d x$

خطوة 2.3.2.2

اضرب الأُسس في ${(e^{2 - x^{3}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{(2 - x^{3}) \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{2 \cdot - 1 - x^{3} \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.2.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 - x^{3} \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.2.2.4

اضرب $- x^{3} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 + 1 x^{3}} d x$

خطوة 2.3.2.2.4.2

اضرب $x^{3}$ في $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 + x^{3}} d x$

خطوة 2.3.3

لنفترض أن $u = - 2 + x^{3}$ . إذن $d u = 3 x^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

افترض أن $u = - 2 + x^{3}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

أوجِد مشتقة $- 2 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 + x^{3}]$

خطوة 2.3.3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 2 + x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.3.3.1.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.3.3.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

خطوة 2.3.3.1.5

أضف $0$ و $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

خطوة 2.3.3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

خطوة 2.3.4

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

خطوة 2.3.5

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{6}{3} \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.6.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.6.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.6.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.6.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{1} \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.6.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.7

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (e^{u} + C_{2})$

خطوة 2.3.8

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{u} + C_{2}$

خطوة 2.3.9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 2 + x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C} = | y |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$ .

$| y | = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

خطوة 3.3.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$ بالصيغة $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 e^{- 2 + x^{3}}} e^{C}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

خطوة 5

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $1$ عن $y$ في $y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ .

$1 = C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}} = 1$ .

$C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}} = 1$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$C e^{2 e^{- 2 + 0}} = 1$

خطوة 6.2.2

أضف $- 2$ و $0$ .

$C e^{2 e^{- 2}} = 1$

خطوة 6.2.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$C e^{2 \frac{1}{e^{2}}} = 1$

خطوة 6.2.4

اجمع $2$ و $\frac{1}{e^{2}}$ .

$C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$

خطوة 6.3

اقسِم كل حد في $C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$ على $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اقسِم كل حد في $C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$ على $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ .

$\frac{C e^{\frac{2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{C e^{\frac{2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

خطوة 6.3.2.2

اقسِم $C$ على $1$ .

$C = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

خطوة 7

عوّض بـ $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ عن $C$ في $y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ .

$y = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ و $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ .

$y = \frac{e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

خطوة 7.3

أخرِج العامل $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ من $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ .

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

خطوة 7.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اضرب في $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}} \cdot 1}$

خطوة 7.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}} \cdot 1}$

خطوة 7.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{1}$

خطوة 7.4.4

اقسِم $e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}$ على $1$ .

$y = e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}$

خطوة 7.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2}$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) - 2}{e^{2}}}$

خطوة 7.5.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) + 2 (- 1)}{e^{2}}}$

خطوة 7.5.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) + 2 (- 1)$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 1)}{e^{2}}}$

خطوة 7.5.2

اضرب $e^{- 2 + x^{3}}$ في $e^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3} + 2} - 1)}{e^{2}}}$

خطوة 7.5.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $- 2 + x^{3} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.2.1

أضف $- 2$ و $2$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{x^{3} + 0} - 1)}{e^{2}}}$

خطوة 7.5.2.2.2

أضف $x^{3}$ و $0$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{x^{3}} - 1)}{e^{2}}}$