حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x d y = (x \sin (x) - y) d x$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $(x \sin (x) - y) d x$ من كلا المتعادلين.

$x d y - (x \sin (x) - y) d x = 0$

خطوة 1.2

أعِد الكتابة.

$- (x \sin (x) - y) d x + x d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = - (x \sin (x) - y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x \sin (x) - y)]$

خطوة 2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- (x \sin (x) - y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [x \sin (x) - y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x \sin (x) - y]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x \sin (x) - y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- y])$

خطوة 2.4

بما أن $x \sin (x)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x \sin (x)$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

خطوة 2.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 2.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.7

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.7.2

اضرب $\frac{d}{d y} [y]$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $1$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 1$

خطوة 4.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$1 = 1$ تمثل متطابقة.

خطوة 5

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d y$

خطوة 6

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = x$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = x y + C$

خطوة 7

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = x y + g (x)$

خطوة 8

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - (x \sin (x) - y)$

خطوة 9

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [x y + g (x)] = - (x \sin (x) - y)$

خطوة 9.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (x \sin (x) - y)$

خطوة 9.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (x \sin (x) - y)$

خطوة 9.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (x \sin (x) - y)$

خطوة 9.3.3

اضرب $y$ في $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (x \sin (x) - y)$

خطوة 9.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$y + \frac{d g}{d x} = - (x \sin (x) - y)$

خطوة 9.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + y = - (x \sin (x) - y)$

خطوة 10

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1.1

بسّط $- (x \sin (x) - y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{d g}{d x} + y = 0 + 0 - (x \sin (x) - y)$

خطوة 10.1.1.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$\frac{d g}{d x} + y = - (x \sin (x) - y)$

خطوة 10.1.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d x} + y = - (x \sin (x)) - - y$

خطوة 10.1.1.1.4

اضرب $- - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + y = - x \sin (x) + 1 y$

خطوة 10.1.1.1.4.2

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y = - x \sin (x) + y$

خطوة 10.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.2.1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x) + y - y$

خطوة 10.1.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $- x \sin (x) + y - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.2.2.1

اطرح $y$ من $y$ .

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x) + 0$

خطوة 10.1.2.2.2

أضف $- x \sin (x)$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$

خطوة 11

أوجِد المشتق العكسي لـ $- x \sin (x)$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x \sin (x) d x$

خطوة 11.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x \sin (x) d x$

خطوة 11.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (x) = - \int x \sin (x) d x$

خطوة 11.4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sin (x)$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)$

خطوة 11.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)$

خطوة 11.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)$

خطوة 11.6.2

اضرب $\int \cos (x) d x$ في $1$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)$

خطوة 11.7

تكامل $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\sin (x)$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$

خطوة 11.8

أعِد كتابة $- (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$ بالصيغة $- (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$ .

$g (x) = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

خطوة 12

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = x y + g (x)$ .

$f (x, y) = x y - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

خطوة 13

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = x y - (- x \cos (x)) - \sin (x) + C$

خطوة 13.2

اضرب $- (- x \cos (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (x, y) = x y + 1 (x \cos (x)) - \sin (x) + C$

خطوة 13.2.2

اضرب $x$ في $1$ .

$f (x, y) = x y + x \cos (x) - \sin (x) + C$