حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$ على $N$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$ على $N$ .

$\frac{\frac{d N}{d t} N}{N} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $N$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d N}{d t} N}{N} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

خطوة 1.1.2.1.2

اقسِم $\frac{d N}{d t}$ على $1$ .

$\frac{d N}{d t} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

خطوة 1.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $N$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d N}{d t} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

خطوة 1.1.3.1.2

اقسِم $t e^{t + 2}$ على $1$ .

$\frac{d N}{d t} = t e^{t + 2}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المعادلة.

$d N = t e^{t + 2} d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d N = \int t e^{t + 2} d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$N + C_{1} = \int t e^{t + 2} d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = t$ و $d v = e^{t + 2}$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - \int e^{t + 2} d t$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = t + 2$ . إذن $d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = t + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $t + 2$ .

$\frac{d}{d t} [t + 2]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t + 2$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [2]$

خطوة 2.3.2.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.3.2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.3

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - (e^{u} + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - e^{u} + C_{2}$

خطوة 2.3.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $t + 2$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - e^{t + 2} + C_{2}$

خطوة 2.3.6

أعِد ترتيب الحدود.

$N + C_{1} = e^{t + 2} t - e^{t + 2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$N = e^{t + 2} t - e^{t + 2} + K$