حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 \frac{d y}{d x} + 4 y = 6 e^{- x}$ , $y (0) = 6$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $2 \frac{d y}{d x} + 4 y = 6 e^{- x}$ على $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{4 y}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{4 y}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

خطوة 1.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{4 y}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

خطوة 1.3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4 y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (2 y)}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (2 y)}{2 (1)} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

خطوة 1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (2 y)}{2 \cdot 1} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

خطوة 1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{1} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

خطوة 1.3.2.4

اقسِم $2 y$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{6 e^{- x}}{2}$

خطوة 1.4

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6 e^{- x}$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{2 (3 e^{- x})}{2}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{2 (3 e^{- x})}{2 (1)}$

خطوة 1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{2 (3 e^{- x})}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{3 e^{- x}}{1}$

خطوة 1.4.2.4

اقسِم $3 e^{- x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = 3 e^{- x}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 2 d x}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{2 x + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{2 x}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (3 e^{- x})$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (3 e^{- x})$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{2 x} e^{- x}$

خطوة 3.4

اضرب $e^{2 x}$ في $e^{- x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

انقُل $e^{- x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 (e^{- x} e^{2 x})$

خطوة 3.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{- x + 2 x}$

خطوة 3.4.3

أضف $- x$ و $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{x}$

خطوة 3.5

أعِد ترتيب العوامل في $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 3 e^{x}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 3 e^{x}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 3 e^{x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{2 x} y = \int 3 e^{x} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$e^{2 x} y = 3 \int e^{x} d x$

خطوة 7.2

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$e^{2 x} y = 3 (e^{x} + C)$

خطوة 7.3

بسّط.

$e^{2 x} y = 3 e^{x} + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{2 x} y = 3 e^{x} + C$ على $e^{2 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{2 x} y = 3 e^{x} + C$ على $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{3 e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{3 e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{3 e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $e^{x}$ و $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

أخرِج العامل $e^{2 x}$ من $3 e^{x}$ .

$y = \frac{e^{2 x} (3 e^{- x})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.1

اضرب في $1$ .

$y = \frac{e^{2 x} (3 e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{e^{2 x} (3 e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{3 e^{- x}}{1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.1.2.4

اقسِم $3 e^{- x}$ على $1$ .

$y = 3 e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 9

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $6$ عن $y$ في $y = 3 e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$ .

$6 = 3 e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

خطوة 10

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3 e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$ .

$3 e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$

خطوة 10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$

خطوة 10.2.2

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$

خطوة 10.2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

اضرب $2$ في $0$ .

$3 + \frac{C}{e^{0}} = 6$

خطوة 10.2.3.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$3 + \frac{C}{1} = 6$

خطوة 10.2.4

اقسِم $C$ على $1$ .

$3 + C = 6$

خطوة 10.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$C = 6 - 3$

خطوة 10.3.2

اطرح $3$ من $6$ .

$C = 3$

خطوة 11

عوّض بـ $3$ عن $C$ في $y = 3 e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $3$ .

$y = 3 e^{- x} + \frac{3}{e^{2 x}}$